Étude d'une suite
Bonjour
Je bloque sur une suite qui semble pourtant classique !
On demande d'étudier la suite définie par
n entier naturel, u(0)=1, u(1)=racine(1+racine(3)), u(2)=racine(1+racine(3+racine(5))), etc...
(racines imbriquées les unes sous les autres, je ne maîtrise pas Latex du tout).
Comment obtenir une formule de récurrence ?
Merci.
Je bloque sur une suite qui semble pourtant classique !
On demande d'étudier la suite définie par
n entier naturel, u(0)=1, u(1)=racine(1+racine(3)), u(2)=racine(1+racine(3+racine(5))), etc...
(racines imbriquées les unes sous les autres, je ne maîtrise pas Latex du tout).
Comment obtenir une formule de récurrence ?
Merci.
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Réponses
> je ne maîtrise pas Latex du tout
Il n'y a pas à maîtriser, il y a à se donner la peine d'écrire \sqrt{} en encadrant toute la formule par des dollars:
$u_0=1$
$u_1=\sqrt{1+\sqrt{3}}$
$u_2=\sqrt{1+\sqrt{3+\sqrt{5}}}$
Cordialement,
Rescassol
Allez ! Au travail !
J'ai bien compris comment sont définis les termes successifs.
Cependant, je n'arrive pas à trouver une relation de récurrence entre le terme de rang n et le(ou les) précédent(s).
Je suis demandeur d'une piste pour démarrer.
Cordialement;
PG
Sans regarder les radicaux, j’observe :
Le terme de rang 0, « contient » le nombre 1
Le terme de rang 1, « contient » les nombres 1 et 3.
Le terme de rang 2, « contient » les nombres 1, 3 et 5
.
.
.
Le terme de rang $n$, « contient » les nombres ..., ..., ... et ... ?
Deuxième idée :
Le passage d’un terme à un autre est à « lire », il faut observer.
Après avoir trouvé la première idée.
-trouver une constante $C$ telle que $\sqrt{2k-1} < C (2k+1)$ pour tout $k$
-montrer que $u_n < f^n(1)$ avec $f : x \mapsto \sqrt{1+ Cx}$ pour tout $n$
-se ramener à l'étude de $ f^n(1)$
Certes, j'ai vu dès le début que le terme U(n) " contient " tous les impairs, de 1 à 2n+1.
Mais tout cela dans une somme avec des "emboîtements" successifs de racines carrées.
Et j'avoue que je sèche pour obtenir une relation de récurrence entre U(n+1) et U(n) ,ou même du type U(n+1)=f(U(n),U(n-1),....,U(0)).
J'en suis au même point qu'au début de ma recherche.
Cordialement.
PG
Je ne sais pas ce que propose Dom, je soupçonne qu'il connaît une méthode algébrique qui mène à une limite bien connue.
La proposition de Crapul, c'est justement de ne pas établir une relation de récurrence sur $u_n$, mais une relation de récurrence sur une suite qui majore $u_n$ (et en complément de cela, je peux te proposer de te souvenir que la dérivée de $O_{k=1}^n f_k=f_1\circ f_2 \cdots \circ f_n$ est $\prod_{k=1}^n f'_k \circ O_{j=1}^{k-1} f_j$, pardon pour la notation nulle ). La question est-elle de déterminer la limite ou de montrer qu'elle existe?
En effet sans papier crayon j’avais vu quelque chose de plus simple....mais avec papier crayon...je rame davantage.
La première idée était le B.A.BA.
La seconde est foireuse, dans l’immédiat.
$$F_n'(x)=G'_1(G_2\circ \ldots\circ G_n(x))\times \ldots\times G'_n(x)\leq \frac{1}{2 ^n}$$ Par la formule des accroissement finis $$\sum_{k=1}^{\infty} |F_{k+1}(x)-F_k(x)|\leq \sum_{k=1}^{\infty} |\sqrt{2k+1+x}-x|\frac{1}{2^k}<\infty.$$ De plus $F'_n$ tend uniformement vers 0 ce qui entraine que la limite de $F_n$ ne depend pas de $x.$ C'est 1,85...