Composition des limites

darbouka
darbouka
dans Analyse
Bonjour,
Voici un exercice trouvé dans un livre.

"On considère une suite géométrique $(q^n)$. Montrer que la convergence de $(q^n)$ entraîne celle de $(|q^n|)$"

Dans le corrigé, il est indiqué que ça provient de la continuité sur $\R$ de la fonction valeur absolue ainsi que du théorème de composition des limites.
Pourriez-vous m'expliquer pourquoi l'argument de continuité est nécessaire ici ? Il me semblait que le théorème de composition de limites ne nécessite pas la continuité des fonctions qu'on compose.

Réponses

  • Calli
    Calli
    On a besoin de la continuité de la valeur absolue en 0, c'est-à-dire du fait que |x| tend vers 0 quand x tend vers 0.
  • gerard0
    gerard0
    Darbouka a écrit:
    Pourriez-vous m'expliquer pourquoi l'argument de continuité est nécessaire ici ?
    Il n'est pas nécessaire (*), mais tout à fait suffisant pour rédiger une preuve rapide, laissée au lecteur.

    Cordialement.

    (*) le fait que $\lim\limits_{x\to 0}|x| = 0$ est une application immédiate de la définition des limites.
  • darbouka
    darbouka
    Je suis désolé, mais j'en suis toujours au même point

    @Calli: pourquoi ici a-t-on besoin de la continuité de la valeur absolue en 0? Pourrais-tu me dire quel théorème on utilise ici? ça me permettrait de regarder ses hypothèses et peut-être d'y voir plus clair.

    @Gerard0, oui, effectivement si $\lim\limits_{x\to 0}x = 0$, en appliquant la définition de la limite ça implique immédiatement que $\lim\limits_{x\to 0}|x| = 0$, c'est d'ailleurs comme ça que j'avais répondu à cet exercice. Mais en lisant l'élément de réponse proposé dans le livre, j'ai été surpris de voir la notion de continuité donné comme argument; je n'arrive pas à comprendre ce que cette continuité vient faire là...
  • Math Coss
    Math Coss
    Comment démontrer que $3>0$ ? On peut constater que $3>0$ ou que $3\ge2$ et que $2>0$. Les deux arguments sont recevables.
  • Poirot
    Poirot
    Si $\lim_{n \to +\infty} q^n=0$ et si la fonction $x \mapsto |x|$ est continue en $0$ (c'est-à-dire si $\lim_{x \to 0} |x|=0$), que peux-tu dire de la suite $(|q^n|)_n$ ? Tu l'as écrit dans le titre !
  • gerard0
    gerard0
    La continuité est un argument simple et rapide à écrire. On peut faire avec moins, mais ça marche comme preuve. On peut faire avec moins, mais pourquoi s'embêter ???
    Je te le redis, la continuité n'est pas nécessaire, mais c'est l'outil de preuve qu'a choisi l'auteur du livre. Il a bien le droit, c'est lui qui rédige.
  • rakam
    rakam
    Quelle est la définition de limite en un point $a$ ?
    Il y a deux écoles, celle où on prend la limite épointée (la limite d'une composée n'est pas simple) et celle où on prend la limite en $a$, $a$ non exclu.
    Peut-être ton livre utilise-t-il la définition avec limite épointée ? Dans ce cas l'utilisation de la continuité devient indispensable.
  • Dom
    Dom
    Je sais que ces suites (géométriques) sont particulières et que les cas de convergence assurent des limites possibles en nombre très restreints.
    Cependant la remarque est « On considère une suite géométrique ($q^n$). Montrer que la convergence de ($q^n$) entraîne celle de ($|q^n|$) ».

    Ainsi je ne vois pas pourquoi on parle de continuité en $0$.
    D’ailleurs si $q=1$, la continuité en $0$ a bon dos.

    La phrase est généralisable comme suit :
    « On considère une suite géométrique ($u_n$). Montrer que la convergence de ($u_n$) entraîne celle de ($|u_n|$)».

    La continuité de $|.|$ sur $\R$ est l’argument.
  • darbouka
    darbouka
    Je commence à y voir plus clair, alors en utilisant la généralisation proposée par Dom, voici la démonstration que je propose:
    "Soit $(u_n)$ une suite qui converge vers $l$. Considérons $\eta$ un réel positif, il existe alors un entier positif $N$ tel que $n \ge N$ implique $| u_n - l| \le \eta$.
    La fonction valeur absolue est continue sur $\R$, donc en particulier en $l$, ainsi pour $\epsilon$ réel positif fixé, il existe un réel positif $\eta$ tel que $|u_n-l| \le \eta \Rightarrow | |u_n|-|l| | \le \epsilon$.
    En résumé: pour tout $\epsilon$, il existe un entier positif $N$ et un réel positif $\eta$ tels que $n \ge N \Rightarrow |u_n - l| \le \eta \Rightarrow ||u_n| - |l|| \le \epsilon$, ce qui indique que la suite $(|u_n|)$ converge vers $|l|$".

    Alors, là, oui, je vois effectivement l'argument de la continuité (pour peu que cette démonstration soit juste :-) ).

    Merci à tous d'avoir pris le temps de me répondre.
  • Poirot
    Poirot
    La continuité intervient pour affirmer que si $(u_n)_n$ converge vers $l$, et si $f$ est continue en $l$, alors $(f(u_n))_n$ converge, et ce vers $f(l)$.
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