EDP linéaire
Réponses
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$Tv=(\partial_t- \nu \partial_z^2) v$ est un opérateur de convolution : linéaire et temps-invariant $T(v (.+a,.+b)) = (Tv)(.+a,.+b)$
donc qui devient diagonal dans la base de Fourier. -
Bonjour reuns, pardon mais je ne comprends pas. Je cherche la manière dont on peut résoudre cette edp svp.
Bien cordialement -
Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier Transformée de Fourier
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renus peux-tu me montrer comment on utilise Fourier ici? Est-ce qu'on a besoin de conditions aux limites?
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Bonjour,
On peut choisir des notations plus claires.
Séparations des variables ? -
Oui des notations plus claires semblent plus pratiques. On pourrait avoir alors:
$$\partial_t u-\nu\partial_{xx}u=0$$
Comme suggère YvesM on peut chercher une solution sous la forme $u(t,x)=T(t)X(x)$ (dépend des conditions aux bords notamment car c'est un cas particulier de solution qu'amène la séparation de variables).
On a alors $$X\partial_t T-\nu T\partial_{xx}X=0$$ qui amène, si on ne considère pas la solution triviale nulle:
$$\frac{\partial_t T}{T}-\nu\frac{\partial_{xx} X}{X}=0$$
Or la seule façon de réaliser cela est de prendre des quotients constants égaux à $k$, d'où $\frac{\partial_t T}{T}=k$ et $\nu\frac{\partial_{xx} X}{X}=k$
Cela donne deux équations aux valeurs propres à résoudre, selon le signe de $k$, tes conditions au bord et tes conditions initiales. -
Donc il nous faut avoir des conditions au bord et une condition initiale pour résoudre cette edp sinon c'est impossible?
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Vois une edp comme un chemin à suivre: va à gauche, tout droit sur 50m, ensuite tout droit pendant 10sec, et tourne à droite.
Tu vois bien que selon ta position de départ, les limites du domaine et ta vitesse de départ, les consignes te mèneront à des endroits bien différents.
De même, ton edp aura un sacré paquet de solutions, ou pas, selon ce que tu précises.
$\partial_tu=2$ peut admettre $u(t)=2t+k$ et donc autant de solutions qu'il y a de $k$. -
Bonjour,
cette question découle d'une question plus difficile que j'essaye de traiter.
J'essaye de calculer la solution exacte du problème $$
\begin{cases}
\partial_t u + u \partial_x u - \nu \partial^2_x u = 1+x,~ x \in [0,a], ~t > 0\\
u(x,0)= 0,\\
u(0,t)=u(a,t= 0
\end{cases}
$$ On cherche une solution de la forme $$
u(x,t)= a(t) \dfrac{\partial_z v(\tau,z)}{v(\tau,z)} +b(t) x +c(t),\\
\tau=\tau(t), ~z=\alpha(t)x +\beta(t),
$$ où les fonctions $\alpha(t), b(t), c(t), \tau(t)$ vérifient le système $$
\begin{cases}
\tau'(t)&= ~\nu \alpha^2(t)\\
a(t)&=~ -2 \nu \alpha(t)\\
\alpha'(t)&=~ - \alpha(t) b(t),\\
\beta'(t)&=~ - \alpha(t) c(t),\\
c'(t)&= ~1- b(t) c(t)
\end{cases}
$$ donc \begin{align*}
\alpha(t)&= c_1 \exp(\int b(t) dt),\\
\beta(t)&= -\int \alpha(t) c(t) dt + c_2\\
\tau(t)&= \nu \int \alpha^2(t) dt +c_3\\
a(t)&= -2 \nu \alpha (t),\\
c(t)&= \alpha(t) \int \dfrac{1}{\alpha(t)} dt + c_4 \alpha(t),
\end{align*} où $c_1, c_2, c_3, c_4$ sont des constantes arbitraires.
Après des calculs on trouve que trouver un $u$ solution du problème initiale revient à résoudre les deux problèmes : $$
\partial_{\tau} v - \nu \partial^2_z v =0, \quad b'(t)= -b^2(t)+1.
$$ Ma question est : selon les conditions posées sur $u$, quelle condition initiale et quelles conditions aux limites doit vérifier la fonction $v$ pour pouvoir le calculer. Ou bien est-ce qu'il y a un moyen simple de trouver $v$ et $b$ ?
Je suis vraiment bloquée sur ce point depuis plusieurs semaines. Merci par avance pour toute aide. -
Bonjour,
Tu peux intégrer $b$ : c’est à variables séparables. Puis de proche en proche tu intègres toutes les autres fonctions. -
YvesM
comment de proche en proche ? Comment faire intervenir les conditions au bord et la condition aux limites ? Stp. -
Bonjour,
Puisque $\alpha’(t)=-\alpha(t) b(t)$ et on connaît $b(t)$, on sait résoudre pour trouver $\alpha(t)$... et de proche en proche on trouve toutes les fonctions inconnues. A la fin, on écrit les conditions initiale et au bord pour identifier quelques constantes... -
oui mais ces constantes viennent de l'intégration par rapport à t (donc on utilise la condition initiale). Mais pour les conditions aux limites comment on peut les utiliser?
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Bonjour,
Ne réfléchis pas. Calcule. -
Bonjour
si on calcul directement, ça nous donne :
\begin{align*}
\alpha(t)&= \alpha(0) \exp(- \int_0^t b(s) ds \\
\beta(t)&= \beta(0)- \int_0^t \alpha(s) c(s) ds \\
\tau(t)&= \tau(0)+ \nu \int_0^t \alpha^2(s) ds \\
a(t)&= -2 \nu \alpha(t) \\
c(t)&= \alpha(t) \int_0^t \dfrac{g(s)} {\alpha(s)} ds - c(0) \alpha(t)
\end{align*} Mais le problème reste le même : comment résoudre le problème $\partial_{\tau} v = \nu \partial^2_z v$ ? Il nous faut déterminer les conditions aux limites et initiale, mais lesquelles ?
Bien cordialement. -
Bonjour,
J’abandonne.
Tu devrais faire des exercices de ton niveau. Essaie de travailler en groupe. -
YvesM,
si on intégre alors il n y a plus de constante arbitraire! C'est ce que vous m'avez proposé et j'ai obtenu ces constantes en utilisant la condition initiale.
Ma question est claire: si $u$ vérifie certaine conditions aux limites alors comment en déduire les conditions aux limites de v afin de pouvoir résoudre l'edp! Merci pour tout ceux qui peuvent m'aider sur cette question.
Bien cordialement -
Tu as mentionné deux équations que tu cherches à résoudre: $(1)\partial_{\tau}v-\nu\partial_{zz}v=0$ et $(2)b'(t)=-b^2(t)+1$.
L'équation (1) comme mentionné peut se résoudre par séries de Fourier en séparant les variables (c'est l'équation de la chaleur 1D).
https://fr.wikipedia.org/wiki/Équation_de_la_chaleur
Tu la décomposes en deux équations, sur $\tau$ et sur $z$.
Tu trouves les modes propres associés au Laplacien en $z$, grâce à tes conditions aux bords. Pour ces conditions tu as à la base des Dirichlet homogène en 0 et en $a$. Est ce que ça implique qch pour d'éventuelles conditions aux bords sur $v$?
Sinon (2) se résout directement et tu dois utiliser la CI $b(0)=0$ vu que c'est ta CI sur $u$ et que tu l'imposes pour tout $x$. Non? -
Bonjour,
Non. $b(0) x$ n’est pas le seul terme en $x$ dans l’équation puisque la dérivée partielle est prise en $(t=0,x).$
On calcule. Puis on détermine les constantes. -
Oui en effet.
Donc comme dit YvesM, tu commences par résoudre $b'+b^2=1$ qui donne normalement $b(t)=\frac{e^{2(t+C_1)}-1}{e^{2(t+C_1)}+1}$, avec $C_1$ arbitraire.
Avec $\alpha'=-\alpha b$ tu trouves explicitement $\alpha$ en fonction de $t$ avec $C_1$ et $C_2$ arbitraires. Dès lors je crois que tu as explicitement $\tau$, $a$ et $c$. Ensuite tu trouves $\beta$.
Tu as alors tous les coefs de ta forme pour $u$, et reste à calculer $v$. Pour cela tu résouds comme on te l'a suggéré, en posant également des constantes arbitraires notamment pour les modes propres.
Ensuite tu as explicitement $u$ solution de ton équation en fonction de tout un jeu de constantes. Il ne reste normalement plus qu'à déterminer le jeu qui convient à tes CI et CL. -
Bonjour
mon problème est comment résoudre l'équation de la chaleur sans avoir de conditions aux limites et une condition initiale sur $v$? Ou bien en appliquant Fourier pour résoudre l'équation de la chaleur on n'a pas besoin de CL sur $v$? Au contraire de la méthode à variables séparées qui exiges des CL et une CI. Car dans le lien que vous m'avez donné Pourquoi Pas pour résoudre l'équation de la chaleur, on a besoin de CL et CI sur v. Sinon comment la résoudre en utilisant Fourier?
Bien cordialement -
En fait ma question est simple: comment résoudre l'éq de la chaleur sans avoir de condition initiale ni conditions au bord?
-
Sans CI et CL, on n'obtient qu'une forme générale avec des coefficients non déterminés. On est bien d'accord qu'une equa diff sans CI et CL ne peut pas donner une solution explicite absolue?
Pour la résolution, par exemple, la partie spatiale de ta séparation de variables sera sous la forme d'un $\sin(\kappa x+\phi$ (modes propres de ton Laplacien). Et là tu auras besoin de tes CL pour déterminer les valeurs propres $\kappa_i$ et la phase $\phi$. En effet si tu as des CL homogènes par exemple en $0$ et $a$, alors tu t'arranges pour que ton $\sin$ s'annule en $0$ et en $a$ en choisissant correctement $\kappa$. Ect
Ensuite il faudra résoudre l'équation restante sur la partie temporelle. Elle sera sûrement de forme exponentielle, avec une constante arbitraire que tu fixeras avec tes CI.
Sinon tu te retrouves avec des constantes $\phi$, $\kappa$... indéterminées, mais au moins tu as une forme générale.
Comment en arrives-tu à cette équation sur $v$? Pourquoi cela est-il dépossédé de CI et CL? -
C'est ma question depuis le tout début ! Comment définir des CL et CI sur v en partant des CL et CI sur u ? J'ai écrit les détails du calcul dans mon précédent post. YVESM répète qu'il faut calculer ne pas réfléchir et à la fin calculer les constante mais je ne trouve aucun moyen de calculer la solution générale de la chaleur sans utiliser les CL ou CI ! Merci de me montrer cette méthode si vous la connaissez.
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Tu confirmes savoir résoudre cette équation aux constantes près ? Donc il ne reste plus qu'à définir ces constantes ?
Premièrement, comment tu obtiens ton équation de la chaleur ? Il me semble que ce n'est pas décrit. -
Non j'ai bien dit et répété que je ne sais pas résoudre l'équation de la chaleur à une constante près. Dans tout les cours que je trouve il faut utiliser les conditions aux limites et initiales pour résoudre le problème de la chaleur. Pouvez-vous me montrer comment trouver la solution générale de l'équation de la chaleur (à une constante près) ? Svp
Bien cordialement. -
Regarde ce que j'ai noté pour obtenir deux équations aux valeurs propres. Tu es d'accord qu'on obtient $\partial_{\tau} T=-K\nu T(\tau)$ et $\partial_{zz}Z(z)=-KZ(z)$ ?
A présent on a besoin des CL et CI. Je pense que tu dois pouvoir définir un domaine arbitraire borné (par exemple dans un premier temps $[0,L]$) sur $z$, auquel cas tu devrais avoir des CL. Supposons qu'on les a, on verra ça après.
Donc on a des CL pour $v$: $v(\tau,0)=B_0(\tau)$ et $v(\tau,L)=B_L(\tau)$. Là ce sont des conditions de Dirichlet, qu'on peut prendre homogènes ou non, peu importe. Tu pourrais aussi prendre des Neumann ou autres, ça ne change rien à l'idée.
Comme dans le lien il faut checker le signe de la valeur propre $K$. Ici, pour avoir qch en accord avec nos CL on choisit, de même, le cas $K>0$. Donc on peut noter $K=k^2$ et on regarde l'eq $\partial_{zz}Z(z)=-k^2Z(z)$.
L'équation sur $Z$ donne des solutions du type $Z(z)=\alpha\cos(kz+\phi_1)+\beta\sin(kz+\phi_2)$ (partie paire et impaire) pour un nombre dénombrable de choix de $k$. En effet le Laplacien $\partial_{zz}$ se diagonalise dans la base des fonctions de Fourier qui sont orthogonales (des $\sin(n\pi z)$) et donc la solution s'exprime dans cette base.
Là la valeur des CL vont contraindre $\alpha$, $\beta$, les phases $\phi_i$ et $k$. Par exemple si tu veux qch qui s'annule en 0 (supposons $B_0(\tau)=0$), la partie $\cos$ n'étant pas nulle en 0 il faudra forcer $\alpha=0$ (solution impaire) et il te restera peu de choix sur $\beta$. Pareil pour $k$: si tu veux aussi que ton $\sin$ s'annule en $L$ sans forcer $\beta=0$ qui te donnerait la solution triviale, il faut $k=n\pi/L$ et $\phi_2=0$.
Tu as donc pour chaque entier $n$ une forme $Z_n(z)=\beta_n\sin(n\pi/L z)$. C'est la solution dans le cas de Dirichlet homogène. Si la situation est différente, on adapte facilement avec les phases.
Ainsi la partie "spatiale" $Z$ de la solution $v=TZ$ est déterminée à $\beta_n$ près, et on a les valeurs de $k$ pour lesquelles la solution n'est pas identiquement nulle. $Z$ est donc de la forme $Z(z)=\sum_{\mathbb{N}}Z_n(z)=\sum_{\mathbb{N}}\beta_n\sin(n\pi/L z)$.
On regarde donc la deuxième équation, sur $T$, qui est en fait un ensemble d'équations pour chaque valeur de $k$. On aura donc $T(\tau)=\sum_{\mathbb{N}}T_n(t)$ avec: $\partial_{\tau}T_n=-(n\pi/L)^2\nu T_n$ Cette équation admet des solutions du type $T_n(\tau)=\gamma_n e^{-(n\pi/L)^2\nu \tau}$
La solution générale, par linéarité, est donc la somme de toutes ces solutions particulières:
$v(\tau,z)=\sum_{\mathbb{N}}T_n(\tau)Z_n(z)=\sum_{\mathbb{N}}\gamma_n \beta_n e^{-(n\pi/L)^2\nu t} \sin(n\pi/L z)$
On pose par exemple la constante $\delta_n:=\gamma_n\beta_n$ pour simplifier. Alors il reste toujours à trouver les $\delta_n$. Là tu considères la CI que t'es censée avoir: $v(0,z)=F(z)$, ce qui implique que $\sum_{\mathbb{N}}\delta_n e^{0} \sin(n\pi/L z)=\sum_{\mathbb{N}}\delta_n \sin(n\pi/L z)=F(z)$.
Comme la partie "spatiale" de ta solution s'écrit dans la base de Fourier (somme des $\sin(n\pi/L z)$), ça peut être utile de développer aussi $F(z)$ dans cette base (juste checker que $F(z)$ vérifie les bonnes hypothèses et est bien égale à sa série de Fourier). Donc trouver des coefs $\psi_n$ tels qu'on ait: $F(z)=\sum_{\mathbb{N}}\psi_n\sin(n\pi/L z)$.
Tu vois aussi que si tu trouves les $\psi_n$ alors par identification tu as directement les $\delta_n$.
Tu projettes simplement ta fonction sur la base (vu qu'il n'y a que des $\sin$, tu n'as qu'un coef (l'impaire) à chercher): $\psi_n=1/L\int_{[-L,L]}F(z)\sin(n\pi/L z)dz=2/L\int_{[0,L]}F(z)\sin(n\pi/L z)dz$ (le 2 vient du fait que tu "étends" $F$ à un intervalle double de la longueur du domaine de sorte à ce qu'elle soit impaire, et de période 2$L$ du coup multipliée par un $\sin$ l'intégrande devient paire). Ca se calcule assez bien, et tu as ta solution.
A présent tu vois que sans préciser les CI et CL, la solution a la tête: $v(\tau,z)=\sum_{\mathbb{N}}\delta_n e^{-(n\pi/L)^2\nu t}(\alpha\cos(k_n z+\phi_n)+\beta\sin(k_n z+\phi_2))$.
Les $\phi_i$, $\alpha$, $\beta$ et $k_n$ viennent de tes CL, et les $\gamma_n$ du dvp en série de Fourier de ta CI.
Voilà pour la résolution. J'espère que ça répond à ta question. Cette méthode est très classique, correspond à ce qui est fait sur wikipédia et dans tes cours, et est "générale à quelques constantes près".
A présent, comment tu obtiens cette équation, pour voir s'il est possible d'obtenir les CI et CL? Car sans elles, ton équation ne te retournera aucune solution plus précise que celle qu'on vient d'écrire. -
Bonjour,
merci beaucoup Pourquoi Pas pour la réponse. Pour les détails de calculs ils sont trop long. Puis-je vous les envoyer en MP ou par mail?
Bien cordialement -
Pourquoi pas, j'ai envie de dire
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Pourquoi Pas je viens de vous envoyer la première partie des calculs en MP
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je regarde ça et reviens dessus plus tard
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Bonjour!
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