Densité des suites presque nulles

Bonjour, je suis actuellement à la recherche d'une confirmation ou d'une infirmation quand à ma démonstration du problème suivant.

"Démontrer que les suites qui n'ont qu'un nombre fini de termes non nuls sont denses dans $\ell^p(\mathbb{N})$"

Ma démonstration est la suivante.
Il est bien clair que l'ensemble des suites presque nulles est inclus dans $\ell^p(\mathbb{N})$, on va montrer que ce même ensemble est dense dans $\ell^p(\mathbb{N})$, pour cela, on va démonter qu'on peut approcher n'importe quel élément de $\ell^p(\mathbb{N})$ avec une suite de suites presque nulles.

Soit $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$ une suite de $\ell^p(\mathbb{N})$, posons les suites :
$((x_{n}^{0})_{n}) := x_0$ si $n = 0$ et $0$ sinon
$((x_{n}^{1})_n) := x_0$ si $n = 0$, $x_1$ si $n =1$ et $0$ sinon, et ainsi de suite :
$((x_{n}^{k})_n) := x_0$ si $n=0$ ... $x_k$ si $n=k$ et $0$ sinon

Il est bien clair (par construction), que pour tout entier $k$, les suites $((x_{n}^{k})_n)$, sont presque nulles, et que lorsque $k$ tend vers l'infini, la suite $(x^{k})_{k \in \mathbb{N}}$ converge vers $(x_n)_{n \in \mathbb{N}}$.

Vous l'aurez certainement compris, la dernière assertion me pose problème, et j'ai un peu de mal à imaginer que cette suite de suites convergerait vers notre élément $\ell^p(\mathbb{N})$ juste parce qu'on l'aurait construit comme ça, sans utiliser d'autres arguments. Dans tout les cas ma démonstration même si elle est vraie, ne me satisfait pas, c'est donc pour cela que j'en appelle à votre aide, je vous remercie d'avance.