Division par l’ordre d’un élement
dans Analyse
Bonjour
Ça doit être trivial mais comment peut on montrer que:
Dans un groupe abélien
Si x^n=1 alors n divise l’ordre de x
Merci pour votre aide
Ça doit être trivial mais comment peut on montrer que:
Dans un groupe abélien
Si x^n=1 alors n divise l’ordre de x
Merci pour votre aide
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Réponses
Effectue la division euclidienne de l’ordre de x par n et prouve que le reste est nécessairement nul.
Si ord(x) ne divise pas n ; (sachant que n<=ord(x) sinon n est l’ordre de x ?)
Donc on a pgcd(ord(x);n)=1
On utilise l’identité de de Bézout et on obtient que x=1
Plus sérieux encore. Tu dis que comme $4$ ne divise pas $6$ et $6$ ne divise pas $4$, ils sont premiers entre eux. Tu pourrais nous donner les coefficients de Bézout ?
Ducoup ça marche ça?
On pose la division euclidienne de n : n= ord(x)*q+r avec r<ord(x)
Donc x^n=x^(ord(x)*q+r)=1*x^r
Or x^n=1 donc x^r=1
Donc x=1...
D'où sort cette implication (fausse) $x^r=1\implies x=1$ ? Que vaut $r$ à ce stade ?
PS : le raisonnement par l’absurde est inutile ici.
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
Pourquoi l’implication est fausse si r<ord(x) ?
L'implication $x^r\implies x=1$ est fausse par exemple si $x$ est différent du neutre et $r=-\mathrm{ord}(x)$ ou $r=-\mathrm{ord}(x)^3-72\mathrm{ord}(x)$.
En fait, plutôt que demander « pourquoi c'est faux ? », tu pourrais te demander : « comment pourrais-je le prouver ? » Tu verrais alors que tu ne peux pas. De toute façon, ce que tu veux démontrer, ce n'est pas que $x=1$. Mais que veux-tu démontrer, au fait ?