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Division par l’ordre d’un élement

Envoyé par Etienne l’autre 
Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Bonjour
Ça doit être trivial mais comment peut on montrer que:

Dans un groupe abélien
Si x^n=1 alors n divise l’ordre de x

Merci pour votre aide :)
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
avatar
Curieux. N'est-ce pas l'ordre qui divise $n$ ?
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Bonjour,

Effectue la division euclidienne de l’ordre de x par n et prouve que le reste est nécessairement nul.
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Comme le dit Cidrolin, il vaudrait mieux effectuer la division de $n$ par l'ordre de $x$.
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Euh oui, en effet...
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Oups pardon :)
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Donc du coup on le fait par l’absurde ?
Si ord(x) ne divise pas n ; (sachant que n<=ord(x) sinon n est l’ordre de x ?)
Donc on a pgcd(ord(x);n)=1
On utilise l’identité de de Bézout et on obtient que x=1



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Je suis perplexe. Pourquoi est-ce que l'on aurait $n\le\mathrm{ord}(x)$ ?

Plus sérieux encore. Tu dis que comme $4$ ne divise pas $6$ et $6$ ne divise pas $4$, ils sont premiers entre eux. Tu pourrais nous donner les coefficients de Bézout ?
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Au passage on a nullement besoin que le groupe soit abélien.
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Ah mince c’etait plus joli :)
Ducoup ça marche ça?
On pose la division euclidienne de n : n= ord(x)*q+r avec r<ord(x)
Donc x^n=x^(ord(x)*q+r)=1*x^r
Or x^n=1 donc x^r=1
Donc x=1...
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Est-il concevable que $r$ vaille $-3$ ?

D'où sort cette implication (fausse) $x^r=1\implies x=1$ ? Que vaut $r$ à ce stade ?
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
N’oublie pas que r<ord(x).
PS : le raisonnement par l’absurde est inutile ici.
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Math Coss écrivait : [www.les-mathematiques.net]
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]
-------------------------------------------------------

Pourquoi l’implication est fausse si r<ord(x) ?



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a huit mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
et si r vaut -3 on prend -r non?
Re: Division par l’ordre d’un élement
il y a huit mois
Prendre $-r$ à la place de $r$, pourquoi ? Pourquoi pas $7r^2+1$ ? Si j'avais écrit $r=-7n-10^6$ à la place de $-3$, qu'aurais-tu proposé ? À vrai dire, tu as souvent trouvé des restes négatifs en posant des divisions euclidiennes avec la potence, à l'école primaire ? Je reformule : ton énoncé de la division euclidienne est incomplet.

L'implication $x^r\implies x=1$ est fausse par exemple si $x$ est différent du neutre et $r=-\mathrm{ord}(x)$ ou $r=-\mathrm{ord}(x)^3-72\mathrm{ord}(x)$.

En fait, plutôt que demander « pourquoi c'est faux ? », tu pourrais te demander : « comment pourrais-je le prouver ? » Tu verrais alors que tu ne peux pas. De toute façon, ce que tu veux démontrer, ce n'est pas que $x=1$. Mais que veux-tu démontrer, au fait ?
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