Division par l’ordre d’un élement

Bonjour,

Effectue la division euclidienne de l’ordre de x par n et prouve que le reste est nécessairement nul.

Euh oui, en effet...

Au passage on a nullement besoin que le groupe soit abélien.

Est-il concevable que $r$ vaille $-3$ ?

D'où sort cette implication (fausse) $x^r=1\implies x=1$ ? Que vaut $r$ à ce stade ?

Prendre $-r$ à la place de $r$, pourquoi ? Pourquoi pas $7r^2+1$ ? Si j'avais écrit $r=-7n-10^6$ à la place de $-3$, qu'aurais-tu proposé ? À vrai dire, tu as souvent trouvé des restes négatifs en posant des divisions euclidiennes avec la potence, à l'école primaire ? Je reformule : ton énoncé de la division euclidienne est incomplet.

L'implication $x^r\implies x=1$ est fausse par exemple si $x$ est différent du neutre et $r=-\mathrm{ord}(x)$ ou $r=-\mathrm{ord}(x)^3-72\mathrm{ord}(x)$.

En fait, plutôt que demander « pourquoi c'est faux ? », tu pourrais te demander : « comment pourrais-je le prouver ? » Tu verrais alors que tu ne peux pas. De toute façon, ce que tu veux démontrer, ce n'est pas que $x=1$. Mais que veux-tu démontrer, au fait ?