Bonjour
soit l'équation de Riccati suivante $$
y'(x)= -y^2(x)+1
$$ Pour la résoudre il faut d'abord remarquer une solution particulière. Comment trouver une solution particulière à cette équation ? Je n'en vois pas une qui saute aux yeux.
Bien cordialement.
Réponses
\displaystyle\int \dfrac{1}{1-y^2} dy = \displaystyle\int dx+c,
$$ et comme $
\displaystyle\int \dfrac{1}{1-y^2} dx = \dfrac{ \log(y(x)+1) - \log(y(x)+1)}{2}
$, alors on a $$
\log(y(x)+1) - \log(y(x)-1)= 2x+c
$$. En passant à l'exponentiel, on obtient : $$
\exp( \log(y(x)+1) ). \exp( - \log(y(x)-1) )= e^{2x} e^c,
$$ alors $$
\dfrac{y(x)+1}{y(x)-1}= e^{2x} e^c,
$$ là je bloque pour déduire la solution $y(x)$.
Bien cordialement.
Bien cordialement
e.v.
Avec $\cfrac{y+1}{y-1} = 1+ \cfrac{2}{y-1}$ tu peux trouver $y$.
e.v.
Bien cordialement
Bref : \[\newcommand{\e}{\mathrm{e}}\dfrac{y(x)+1}{y(x)-1}= \e^{2x} \e^c\iff y(x)+1=\bigl(y(x)-1\bigr)\e^{2x}\e^c\iff y(x)=\cdots\]