Polynômes de Tchébichev

rira · September 2019

On définie le polynôme (T_n)_n en posant
T₀=1 et T₁=x , quelque soit n de IN T_n+2=2xT_n+1-T_n
J'ai déjà réussi à trouver que deg(T_n )=n et le coefficient dominant dom(T_n)=2^n-1
Après j'ai démontré par une récurrence double que pour tout entier n et tout réel a, on a T_n(cos(a))=cos(na)
Il me demande après de calculer T_n(1) qui est égal à 1 c'est fait et T'_n(1).
En utilisant la relation d'avant je trouve -nsin(a)T'_n(a)=-nsin(na)
normalement je dois donner à a la valeur 0 mais je ne trouve rien.
Et puis il demande pour n de IN* déterminer les racines de T_n appartenant à [-1,1].
Merci d'avance.

rira · September 2019

pardon j'ai oublié le bonjour
donc bonjour

YvesM · September 2019

Bonjour,

Tu as fait une erreur de calcul, on a par composition des fonctions, $d/da \,T_n(\cos a)=-\sin a T’_n (\cos a)$ pour tout $a$ réel et tout $n$ entier.
Pour les racines, tu vas trouver facilement...

rira · September 2019

oui c'est -nsin(a)T'_n(cos(a))=-nsin(na) mais je ne vois pas comment je peut trouver T'_n(1)

Math Coss · September 2019

Tu ne connais pas un $a$ dont le cosinus vaut $1$ ?!

rira · September 2019

bien sûr pour a=0 par exemple mais en remplaçant dans la formule trouvée on ne trouve rien car sin (a=0)=0

Poirot · September 2019

Tu devrais peut-être écrire proprement ce que tu trouves pour $T_n'(\cos(a))$ à partir de la relation $T_n(\cos(a)) = \cos(na)$ pour tout $a$.

rira · September 2019

j'ai trouvé sin(a)T'_n(cos(a))=nsin(na) mais je ne peux pas diviser par sin(a) car elle n'est pas différente de 0

Poirot · September 2019

Saurais-tu déterminer la limite de $\frac{\sin(na)}{\sin(a)}$ quand $a$ tend vers $0$ ?

rira · September 2019

c'est n
je suis vraiment désolé vous ne savez pas combien je me sens assez conne pour ne pas avoir pu faire une telle question.
Je vous remercie pour votre temps.