Noyau

P.
P.
dans Analyse
Si $K(x,y)=\frac{1-y}{1-xy}+\frac{1}{1-x(1-y)}$ pour $0<x,y<1$ et si $f$ est continue sur $[0,1],$
je voudrais montrer que $\int_0^1K(x,y)f(x)dx=0$ pour tout $y$ entraîne $f\equiv 0$ mais je suis bien rouillé dans ces choses.

Réponses

  • O.G.
    O.G.
    En développant sous forme de série entière en $y$ pour le 1er terme de $K$ et en $(1-y)$ pour le 2ème terme, il me semble que l'on obtient une expression du type
    $$
    \sum_{k\geq 0} [(1-y)y^k+(1-y)^k] \int_0^1 x^kf(x)dx=0
    $$
    Il faut aussi justifier ces inversions de sommes et limites.
    De à on aboutit (de proche en proche) à $\int_0^1x^kf(x)dx=0$ pour tout $k$.
  • P.
    P.
    Astucieux. Je ne vois pas encore clairement pourquoi $\sum_{k=0}^{\infty}a_k(y^k+(1-y))^{k-1})=0(y)$ pour tout $y$ implique $ a_k=0$ mais on devrait y arriver. De mon côté j'ai développé par rapport à $h=y-1/2.$

    Réflexion faite ce n'est pas tout à fait gagné, car si $$

    f(y)=a_0+a_1y+a_2 y^2+\ldots=-a_1-(1-y)a_2-\ldots=-\frac{f(1-y)-a_0}{1-y}$$ alors $$f(y)=a_0\frac{y-1}{1+y-y^2}.$$
  • O.G.
    O.G.
    Effectivement je suis allé trop vite...

    Et en jouant avec $y$ et l'égalité en $1-y$ ? Et autour de $y-1/2$ ?
  • Alexique
    Alexique
    Peut-on montrer que $\forall f\in \mathcal{C}[0;1],\ \forall x \in \,]0;1[,\ \exists y\in\,]0;1[,\ K(x,y)=f(x)$ ?
    Un certain discriminant $\Delta(x)$ se doit d'être positif ou nul... À la main bof, mais avec Maple peut-être... On aurait du coup $K\big(x,y(x)\big)=f(x)$ pour tout $x$ et il faudrait s'assurer que $y$ est continue...
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Tentative :
    On montre que $K(x,y)-K(x,1-y)/y=(1-y-1/y)/(1-xy)$.
    On montre que $1-y-1/y\neq 0$.
    On en déduit $\int_0^1 f(x)/(1-xy)dx=0$.
    On en déduit $\int_0^1 f(x) x^kdx=0$.
    On en déduit $\int_0^1 f^2(x)dx=0$.
    On conclut $f=0$.
  • P.
    P.
    Chouette et élégant, merci Yves.
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