Le module de croissance est continu

Un raisonnement simple.

$M$ est croissante, donc admet une limite (épointée) à gauche et à droite en tout point.
Soit $$
\begin{array}{lcl}
c_- & = & \lim_{r \to r_0, r<r_0} M(r)\\
c_0 & = & M(r_0) \\
c_+ & = & \lim_{r \to r_0, r>r_0} M(r)
\end{array}
$$ Si $c_- < c_0$, alors
soit $z_0$ tel que $|z_0| \leq r_0$ et $|f(z_0)| = c_0$. Si $|z_0| < r_0$, alors $c_0 = |f(z_0)| \leq M(|z_0|) \leq c_-$, donc $|z_0| = r_0$.

Maintenant, $f$ est continue, donc $\lim_{r\to r_0, r< r_0} |f(\frac{r}{r_0} z_0 ) | = |f(z_0)|$, ce qui entraine que $c_- \geq c_0$.
Donc $c_- = c_0$

Un raisonnement analogue donne $c_0 = c_+$, ce qui entraine que $M$ est continue en $r_0$