Nombre de chiffres d'un entier
Bonjour à tous,
je cherche le nombre de chiffres de $E(e^{2019})$ que je note $p$ ($E$ désigne la partie entière).
On a $10^{p-1}\leq E(e^{2019}) <10^p$ donc, en prenant le logarithme, $p-1\leq \dfrac{\ln(E(e^{2019}))}{\ln(10)}<p$.
On en déduit que $p=E\left(\dfrac{\ln(E(e^{2019}))}{\ln(10)}\right)+1$.
Peut-on évaluer $p$ ?
Merci.
je cherche le nombre de chiffres de $E(e^{2019})$ que je note $p$ ($E$ désigne la partie entière).
On a $10^{p-1}\leq E(e^{2019}) <10^p$ donc, en prenant le logarithme, $p-1\leq \dfrac{\ln(E(e^{2019}))}{\ln(10)}<p$.
On en déduit que $p=E\left(\dfrac{\ln(E(e^{2019}))}{\ln(10)}\right)+1$.
Peut-on évaluer $p$ ?
Merci.
Réponses
-
Sauf erreur, le nombre de chiffres de la partie entière de $x$, c'est le plus petit $n$ tel que $10^{n}>x$.
-
Merci Aléa. Je suis d'accord, c'est d'ailleurs le point de départ de mon raisonnement. Mais il me semble que ce n'est pas suffisant pour évaluer cet entier.
Le problème avec ma formule est que $\ln E(e^{2019})$ n'est pas évaluable à la calculatrice.
Je pense que $p=E\left(\dfrac{2019}{\ln (10)}\right)+1$ mais je n'arrive pas à me dépatouiller avec la partie entière (alors que ce doit être plutôt simple...) -
Heu ... $\ln(e^{2019}) = 2019 \ln(e)$
Autre remarque : Il vaut mieux utiliser le log décimal, dont la partie entière plus 1 donne le nombre de chiffres.
Cordialement. -
Merci Gérard.
Oui, $\ln e^{2019}=2019$ mais je souhaiterais plutôt simplifier $\ln E(e^{2019})$.
Quant au logarithme décimal, effectivement, je peux écrire $p=E(\log E(e^{2019}))+1$ mais ça ne fait pas avancer le schmilblick... -
[édit : correction d'affirmation fausse autocontradictoire avec le renvoi !!]
Que tu compliques !!
D'une part le logarithme népérien de $e^{2019}$ et celui de sa partie entière sont tellement proches que leurs parties entières sont égales (*), d'autre part, avec le log décimal, tu as la réponse immédiate (tu m'as mal lu), puisque le nombre de chiffres de la partie entière est donné.
Cordialement.
(*) C'est quasiment toujours le cas pour de très grands nombres, sauf accident extrêmement rare sur un nombre qui est à peine plus qu'une puissance de e -
Dans ce cas, je voudrais bien que tu détailles la preuve que $\ln E(e^{2019})=2019$.
-
Bonjour,
Oui! Il suffit d'écrire $e^{2019}=e^{\ln{10}\frac{2019}{\ln{10}}}=10^{\frac{2019}{\ln{10}}}$ pour s'en convaincre. Inutile de chercher plus loin.chris93 a écrit:Je pense que $p=E\left(\dfrac{2019}{\ln (10)}\right)+1$ [...]
Ton histoire de $\ln\left( E\left( e^{2019} \right) \right)$ ressemble fort à un coup de fatigue, tout ce que ça doit donner, c'est un nombre transcendant légèrement inférieur à 2019 (nous voilà fort avancé).
gerard0 ne t'a pas dit que c'était égal mais que c'est vachement proche, la différence entre 2019 et $\ln\left( E\left( e^{2019} \right) \right)$ est de l'ordre de $e^{-2019}$, qui est un nombre ridiculement petit. -
Bah moi je ne suis pas convaincu tant que je n'ai pas de preuve... mais je vais travailler sur ta première égalité qui semble encourageante.
Pour la suite, effectivement, Gérard a écrit que $E(\ln e^{2019})=E(\ln E(e^{2019})$ (passage qu'il a ensuite barré).
Je vais réfléchir à tout ce que vous avez écrit. -
Il suffit effectivement de remarquer que
$e^{2019} -1 < E(e^{2019}) \leq e^{2019}$ -
Tu montres par récurrence que $\forall n \in \mathbb{N},~p(10^n)$ est le plus petit entier à $n+1$ chiffres. Ensuite tu utilises le fait que la fonction définie par $\forall x \in \mathbb{R}\ : f(x)=10^x= e^{x\ln{10} }$ est strictement croissante, par ailleurs $2019/\ln(10)$ n'est pas un entier car $\ln(10)$ n'est pas un rationnel.
-
Voilà ma preuve :
On a $e^{2019}=e^{\ln(10).\tfrac{2019}{\ln (10)}}=10^{\tfrac{2019}{\ln (10)}}$.
On pose $x=\dfrac{2019}{\ln (10)}$.
On a alors $E(x)\leq x<E(x)+1$
La fonction $x\mapsto 10^x$ étant strictement croissante sur $\R^{+*}$, on a :
$$10^{E(x)}\leq 10^x<10^{E(x)+1}$$
Puis, par définition de la partie entière,
$$10^{E(x)}\leq E(10^x) \leq 10^x<10^{E(x)+1}
$$ D'où, $$
10^{E\left(\tfrac{2019}{\ln (10)}\right)}\leq E\Big(10^{\tfrac{2019}{\ln (10)}}\Big) <10^{E\left(\tfrac{2019}{\ln (10)}\right)+1}.
$$ On en déduit que le nombre $E\Big(10^{\tfrac{2019}{\ln (10)}}\Big) $ contient $E\Big(\dfrac{2019}{\ln (10)}\Big)+1$ chiffres. -
Oui, enfin 877 chiffres, quoi !
$\log(e^{2019})=2019 \log e \approx 876.8405588$ donc $e^{2019}$ a 877 chiffres.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 4
+2 Invités