Calcul de limite

HelloThury
HelloThury
dans Analyse
Bonjour,
je cherche à calculer la limite de $$
u_n=n\int_{0}^{\pi/4}e^x\tan^n(x)dx

$$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$.
J'arrive à montrer que l'intégrale existe, qu'elle est majorée et j'arrive même à calculer la limite mais... pas moyen de prouver la convergence de cette suite. Comme j'ai prouvé qu'elle était majorée, il suffirait de prouver qu'elle est croissante. Ça a l'air d'être le cas sur les 50 premiers termes, d'après Maple, mais je n'arrive pas à le prouver dans le cas général (td)
On m'a suggéré d'utiliser le lemme de Watson (que je ne connaissais pas d'ailleurs...) mais je ne vois vraiment pas comment l'appliquer...
J'espère que mon problème intéressera certains de vous, d'avance merci à ceux qui éclaireront ma lanterne !
HT

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Si on pose $v_n=\dfrac{u_n}{n}$, une intégration par parties montre que $v_{n+1}+\dfrac{v_n}{n}+v_{n-1}=\dfrac{e^{\frac{\pi}{4}}}{n}$, mais je ne sais pas si ça peut être utile.

    Cordialement,

    Rescassol

    Edit: J'avais oublié un $n$, c'est moins joli comme ça !
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Je n'ai pas écrit les détails mais ça doit fonctionner.
    Faire le changement de variable x=arctan(u^(1/n)) pour obtenir une intégrale où le facteur n disparaît.
    Il suffit alors d'écrire la fonction sous le signe somme comme cste + O(1/n) pour obtenir la limite
    1/2exp(Pi/4).
     
  • HelloThury
    HelloThury
    Merci pour ta réponse.
    Je garde ta notation de $v_n$ et en intégrant par partie, je trouve plutôt : $$
    u_{n+1}+u_{n-1}=e^{\pi/4}+v_{n+1}-v_n-v_{n-1}

    $$ En majorant $\tan(x)$ par $\dfrac{4x}{\pi}$ sur l'intervalle, on montre que $v_n$ tend vers zéro.
    En supposant que $u_n$ est convergente, on trouve donc que $u_n$ tend vers $\dfrac{e^{\pi/4}}{2}$
    C'est ce que j'avais fait pour calculer la limite mais il manque la convergence...
    HT
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Pour montrer que la suite $u$ converge il suffit de montrer qu’elle est croissante et majorée.
    La majoration est immédiate (et tu l’as démontrée par la suite $v$).
    La croissance est facile par cette méthode :
    - montrer que $u_{n+1}-u_n=\int_0^{\pi/4} dx e^x f_n(x)$ pour une certaine fonction $f_n$.
    - étudier la fonction et montrer qu’elle admet un minimum positif sur $]0,\pi/4[.$ Indication : montrer que $\tan (x^2)-x>0$ pour $1>x>0.85.$
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonsoir

    tu commences par un changement de variable d'intégration

    en posant $tanx = u$ avec 0 < u < 1

    soit x = Arctan(u) et donc $dx = \frac{du}{1+u^2}$ et l'intégrale devient

    $\int_0^1.exp(Arctanu)\frac{u^n}{1+u^2}du$

    que tu peux majorer par l'intégrale $\int_0^1.exp(\frac{\pi}{4}).u^n.du$ soit $exp(\frac{\pi}{4}).\frac{1}{n+1}$

    et $u_n$ est majorée par $exp(\frac{\pi}{4})$ donc la suite converge

    mais quelle est la limite ?

    cordialement
  • ev
    ev
    Montrer que que si \( f \) est continue sur \( [0,1] \), \[

    \lim_{n\to\infty} n\int_0^1 f(t) t^n \,\mathrm dt = f(1).

    \] e.v.

    [ Tous les coups sont permis. ]
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @jean lismonde : tu as oublié un $n$ en facteur. Et il ne suffit qu’une suite soit majorée pour qu’elle converge. J’ai appris ça en $M2.$
  • bd2017
    bd2017
    Bonjour
    Remarque en procédant comme je l'ai indiqué on peut sûrement aller plus loin comme par exemple montrer que
    $u_n=e^{\pi /4}(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4 n}-\dfrac{3}{8 n^2}+\dfrac{15}{16 n^3}+\dfrac{41}{32 n^4})+o(1/n^4)$.
     
  • totem
    totem
    Avec le théorème de convergence dominée je trouve la même chose.
  • HelloThury
    HelloThury
    Merci à tous pour vos messages, je vais mieux dormir !
    HT
  • HelloThury
    HelloThury
    Et au fait @YvesM, je n'ai pas l'impression que la fonction $f_n$ dont tu parles soit de signe constant sur l'intervalle mais je peux me tromper...
    Et @ev bien vu pour la généralisation, le théorème de convergence dominée donne le résultat après changement de variable !

    HT
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    @HelloThury : effectivement, tu te trompes. La fonction est positive sur l’intervalle en question (à partir d’un certain $n$).
  • HelloThury
    HelloThury
    Bonsoir à tous,
    je suis désolé de revenir à la charge @YvesM mais je ne suis toujours pas convaincu que la fonction $f_n$ que tu définis soit croissante.
    Je trouve qu'elle atteint son minimum en $$
    \alpha_n=\arctan\left(\frac{n^2}{(n+1)^2}\right),
    $$ puis que $$
    f_n(\alpha_n)=-e^{\alpha_n}\dfrac{n^{2n+1}}{(n+1)^{2n+1}}<0.
    $$ On a même $\lim f_n(\alpha_n)=e^{\frac{\pi}{4}}>0$...
    Une nouvelle fois, je peux me tromper...
    HT
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