Fonction intégrable et périodique

Zakariyae
Zakariyae
dans Analyse
Salut à tous,
Existe-t-il des fonctions intégrable sur $\mathbb R$ et périodiques au même temps?
Merci d'avance

Réponses

  • raoul.S
    raoul.S
    Of course tu n'as qu'à prendre la fonction nulle sur $\mathbb R \setminus \mathbb Z$ et valant $1$ sur $\mathbb Z$. (:P)
  • Poirot
    Poirot
    Oui ça existe, une condition nécessaire et suffisante est que $\int_0^T f(x) \,dx=0$ (où $T$ désigne la période). C'est clairement suffisant, et pour la nécessité il suffit d'utiliser la relation de Chasles.
  • Chaurien
    Chaurien
    Euh Poirot, la fonction sinus est-elle intégrable sur $\mathbb R$ ?
  • Homo Topi
    Homo Topi
    C'est le moment où il faut faire gaffe aux définitions.

    Ceux qui ont eu un cours de théorie de la mesure disent que "$f$ est intégrable sur $\mathbb{R}$" si $\displaystyle \int_{\mathbb{R}} |f(t)|dt < \infty$, avec la valeur absolue, ce qui n'est pas le cas de la fonction $\sin$.

    Après, je ne me suis jamais demandé si sans les valeurs absolues, il y avait des fonctions périodiques telles que $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f(t)dt < \infty$. Mais ce n'est pas ce qu'on appelle "intégrable" en général.
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour HomoTopi.

    Sans la valeur absolue, le symbole $\displaystyle \int_{\mathbb{R}}f(t)dt $ n'a pas de sens si la fonction n'est pas intégrable (sens intégrale de Lebesgue). Il reste alors d'autres possibilités, comme par exemple les intégrales généralisées de Riemann : $\displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty}f(t)dt $ où intégrable signifierait que l'intégrale converge. Dans ce cadre, sin n'est toujours pas intégrable (en fait, toute fonction périodique continue non nulle n'a pas une intégrale généralisée qui converge).

    Cordialement.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Salut à tous,
    J'ai posé la question, car j'ai trouvé dans quelques cours que la transformation de Fourier généralise le développement en série de Fourier pour les fonctions qui ne sont pas périodique, qu'on peut la définir pour les fonctions dans $L^1(\mathbb R)$ ou celles de carrées sommables ....
    Donc, j'ai posé la question suivante: si on a une fonction périodique et dans $L^1(\mathbb R)$ on va la développer en série de Fourier ou on va écrire sa transformée de Fourier ou les deux au même temps ?
    Mais avant, je dois savoir est-ce qu'on peut trouver une fonction qui est à la fois périodique et dans $L^1(\mathbb R)$ ?
    Merci.
  • Chaurien
    Chaurien
    Il me semble que la condition nécessaire et suffisante est plutôt $\displaystyle \int_0^x |f(t)| \,dt=0$ pour tout $x \in [0,T]$, non ?
  • Poirot
    Poirot
    Effectivement, mea culpa, j'ai interprété "intégrable" au sens large !
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Bonjour,
    D'après cette discussion, on peut dire qu'il existe des fonctions intégrables sur $\mathbb R$ et périodiques au même temps. Et qu'une fonction soit à la fois périodique (de périodique $T$) et dans $L^1(\mathbb R)$ si et seulement si $\displaystyle \int_0^x |f(t)| \,dt=0$ pout tout $x \in [0,T]$ ? c'est ca ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui, c'est même équivalent à la condition plus simple $\int_0^T |f(t)| \,dt = 0$, qui elle-même est alors équivalente à $f=0$ presque partout.
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Mais ça veut dire qu'on a presque juste les fonctions nulles (presque partout) qui sont à la fois périodiques et intégrables sur $\mathbb R$? Non ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui, c'est pas "presque juste", c'est juste ces fonctions-là !
  • gerard0
    gerard0
    Zakariyae,

    -ce que tu dis " la transformation de Fourier généralise le développement en série de Fourier " est à prendre avec précautions. La TF n'est pas une série de Fourier, la série de Fourier redonne la fonction lorsqu'elle est continue, la TF pas du tout (sauf cas très particulier. Concrètement, la série de Fourier vit dans le même espace que la fonction, la TF vit dans l'espace des fréquences.

    Pour une fonction périodique courante, il n'y a pas de TF au sens des fonctions, et au sens des distribution, ce sera une série de Dirac dont les coefficients sont justement ceux de la série associée (dans les bons cas). Donc il y a bien un lien, mais il est assez technique, et le mieux est que tu étudies effectivement ces deux domaines (il y a de nombreux documents, car toute la théorie du traitement du signal repose sur ces idées.
    Cordialement.

    [Paul Dirac (1902-1984) ne s'accorde pas en nombre. ;-) AD]
  • Zakariyae
    Zakariyae
    Parfait :-), merci à tous pour votre contribution (tu)
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