y'' = sin(y)

Tamasushi
Tamasushi
dans Analyse
Bonjour,

Comment résoudre l'équation différentielle
$ y'' = \sin y\,? \\
La\,solution\,est $
$ y(x) = 4\arctan( (\sqrt{2}-1)\exp(x) ) $
mais je n'arrive pas à savoir comment la trouver.
J'ai essayé ça:
$ y'y'' = y'\sin y $
$En\,intégrant,$
$ \frac {1}{2}y'^2= - \cos y + C, \, avec\,C\,une \,constante $
$ y' = \sqrt{ 2( C - \cos y ) } $
$ \frac{y'}{\sqrt{2( C - \cos(y) ) } } = 1 $
$ Intégrer\,ensuite\,par\,rapport\,à\,\mathrm{d}x$
$ \int \frac{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}}{\sqrt{2(C - \cos y) } } \mathrm{d}x = \int\mathrm{d}x $
$Donc$
$x = \int \frac{ \mathrm{d}y}{\sqrt{2(C - \cos y) } } $
Et c'est là que ça commence à coincer. J'ai essayé le changement de variable $u=\cos y \quad$ mais ça donne
$ y = \arccos u $
$ \mathrm{d}y = \frac{-u \mathrm{d}u}{\sqrt{1-u^2}} $
$Donc$
$x=\int \frac{-u\mathrm{d}u}{\sqrt{2(C-u)}\quad\sqrt{1-u^2}} $
Donc, il faudrait soit réussir à calculer cette intégrale soir carrément essayer une autre méthode.

Réponses

  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    La fonction nulle est aussi une solution, non ?
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quelle est la condition initiale ou au bord ?
  • totem
    totem
    Pour $C=1$ ça s'arrange, sinon intégrales elliptiques...?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Il n'y pas de conditions initiales, le but c'est juste de trouver une solution générale.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Ce truc ne s'intègre pas en général (sans utiliser des fonctions à la con).

    Tu dois spécifier des cas particuliers pour que l'intégration donne un truc potable.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Pour $C=1$
    $ \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{-u \mathrm{d}u}{\sqrt{1-u} \quad \sqrt{1-u^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{(1-u)\mathrm{d}u}{\sqrt{1-u} \quad \sqrt{1-u^2}} \quad + \frac{-1 \mathrm{d}u}{\sqrt{1-u} \quad \sqrt{1-u^2}} $

    La première intégrale devient
    $ \int \frac{\mathrm{d}u}{\sqrt{1+u}} = 2 \, \sqrt{1+u} $
    Mais pour la deuxième...

    Intégrale elliptique ?
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Au pire, il n'y aurait pas une autre méthode pour trouver $y \, $ ? Parce que j'ai testé la solution proposée et elle marche et dans l'énoncé il y a juste cette équation.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Sinon j'ai aussi essayé ça de prendre $\arcsin\,$ et de dériver:
    $\arcsin y'' = y \\
    \frac{y'''}{\sqrt{1-y''^2}} = y' \\
    Soit\,z=y' \\
    Alors \, z=\frac{z''}{\sqrt{1-z'^2}} \\
    Donc \, (1-z'^2)z^2 = z''^2 \\
    D'où \, z''^2 + (zz')^2 - z^2 = 0 $
    Mais ça non plus ça n'arrange pas mon affaire.
    Si quelqu'un a un moyen de résoudre cette équation...
  • Poirot
    Poirot
    Attention, $\arcsin(\sin(y))=y$ si et seulement si $y \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Oui en faisant l'hypothèse: $"La\,fonction\,est\,gentille"$
    il n'y a pas ce problème.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Quand tu as $x = \int {dy \over C - \cos y}$ il suffit de développer en série entière l'intégrande pour trouver $x=F(y)$.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    Sauf que ce qu'il faudrait développer c'est $\quad \int \frac{ \mathrm{d}y}{\sqrt{2(C-\cos y)}}, \ $ de plus on tomberait sur une série avec du $\ \cos ^k \ $ et vérifier qu'on ait le droit de d'intervertir $\sum$ et $\int$.
    Et même si on arrive à faire tout ça, cela donnera-t-il $\ y(x)=4\arctan((\sqrt{2}-1)e^x) \ ?$
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Si tu veux retrouver cette solution, quelles conditions initiales dois-tu imposer sur $y(0)$ et $y’(0)$ ? Fais le calcul pour retrouver cette solution.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    L'énoncé n'indique pas de conditions initiales mais pour ce $y \,$ on a
    $y(0)=4\arctan(\sqrt{2}-1)=\frac{\pi}{2} \ $ et $\ y'(0)=\sqrt{2} $
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Tu en as mis du temps. J’espère que tu as compris que la fonction $x\mapsto 4\arctan((\sqrt{2}-1)e^x)$ est une solution particulière et non pas générale de l’équation différentielle $y''=\sin y.$

    On part de $y''=\sin y$ que l’on multiplie par $y’$ et on intègre en $y’^2=2(a-\cos y)$. On écrit les conditions initiales et l’équation précédente prise en $0$ donne $a=1$. On en déduit $y’=2 \sin(y/2)$, n’est-ce pas ? Elle s’intègre car les variables sont séparables.
    Termine.
  • Tamasushi
    Tamasushi
    $\int \frac{ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\mathrm{d}x}{\sin \frac{y}{2}} = \int 2 \mathrm{d}x $
    $2x+K=\int\frac{ \mathrm{d}y}{\sin \frac{y}{2}} $
    $\qquad =2 \ln\tan(\frac{y}{4}) $
    $y(x)=4 \arctan K'e^{x}$
    $Or, \, \frac{\pi}{2}=y(0)=4\arctan K'$
    $Donc, \, K'=\tan \frac{\pi}{8}=\sqrt{2} -1 $
    $Finalement, \, y(x)=4\arctan((\sqrt{2}-1)e^x)$
  • totem
    totem
    $4\arctan(\sqrt{2}-1)=\frac{\pi}{2} $ Pourquoi svp ?
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Comme on a travaillé par implication, il est prudent de vérifier la réciproque. Un calcul direct montre que cette fonction est bien une solution. Pour montrer l’unicité avec ces conditions initiales, il faut travailler encore un peu.
  • nicolas.patrois
    nicolas.patrois
    Ça me rappelle un exercice de colle vu dans un livre où l’auteur résout $y^\prime=y(1/x)$ sans vérifier la réciproque.
    Algebraic symbols are used when you do not know what you are talking about.
            -- Schnoebelen, Philippe
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.

Bonjour!

Pour participer au forum, cliquer sur l'un des boutons :

Connexion S'inscrire

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 22

JLTJean-Louis AymeLP2OShineSethMorleyJunior +17 Invités