Inégalité dans le triangle

aissalh · September 2019

Bonsoir tout le monde
Soit x, y et z les cotés d'un triangle tels que : x+y+z=1
Montrer que :x^2+y^2+z^2 < 1/2.
On remarque que l'un des 3 réels est =< 1/3 ; x , y et z sont < 1/2 ; x< y+z ; y< x+z et z< y+x.

YvesM · September 2019

Bonjour,

Écris une inégalité entre $x+y$ et $z$.
Multiplie par $z.$
Somme des inégalités similaires.
Que vaut $(x+y+z)^2$ ?
Conclus.

aissalh · September 2019

Bonsoir Mr YvesM merci beaucoup. On aura :
x² < xy+xz ;
y² < xy+yz et
z² < xz+yz donc x²+y²+z² < 2(xy+xz+yz)
or 1=(x+y+z)² = x²+y²+z² + 2(xy+xz+yz) < 4(xy+xz+yz) donc 1/2 < 2(xy+xz+yz)
alors -2(xy+xz+yz) < -1/2
donc x²+y²+z² = 1 - 2(xy+xz+yz) < 1 - 1/2 = 1/2

YvesM · September 2019

Bonjour,

Tu peux faire plus rapide :
$1=x^2+...+2(xy+...)>x^2+...+ x^2+...=2(x^2+y^2+z^2)$. Voilà !

Inégalité dans le triangle

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Bonjour!

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