Fonction uniformément continue

Bonsoir,
Pour le coup de la séparation des cas, c'est un choix de l'auteur.
Pour le démarrage: tu te rappelles qu'une fonction uniformément continue vérifie $\forall \epsilon> 0,\ \exists \alpha > 0,\ \forall x,y,\ |x-y|\leq\alpha\Rightarrow |f(x)-f(y)|\leq \epsilon$.
Depuis cette formule : choisis un $\epsilon$, on lui associera un $\alpha(\epsilon)$ (dans la convention que je viens de donner).
Montre que $|f|$ admet un maximum sur $[-\alpha,\alpha]$, nommons le $c$. Prends $a=c+\epsilon$, je te laisse faire le reste.

Edit, le lendemain: Oups, je suppose que je voulais écrire $b=c+\epsilon$, pas $a$.

Bonjour
Supposons que $f$ est uniformément continue sur $\mathbb R^+$. Fixons $x\in \mathbb R^+$ et notons $n=[x/\eta]$ (partie entière de $x/\eta$).
Donc $n\eta\leq x<(n+1)\eta$, par suite $$
|f(x)-f(0)|=\Big|f(x)-f(n\eta)+\sum_{k=0}^{n-1} [f((k+1)\eta) - f(k\eta)] \Big| \leq \cdots \leq 1+n.
$$ Tu va trouver après que $b=|f(0)|+1$ et $a=1/\eta$.
Cordialement.

Dans la preuve on a besoin que $n=[x/\eta]$ la partie entière de $x/\eta$ doit être un entier positif. Sinon, On sépare les deux cas $x\in \mathbb R^+$ et $x\in \mathbb R^-$.

Bah c'est délicat de majorer $$|f(x)-f(n\eta)|+\sum_{k=0}^{n-1} |f((k+1)\eta) - f(k\eta)|$$ par $1+n$ si $1+n$ est négatif !