Un exo sur les complexes

Frédéric Bosio · September 2019

J'ai trouvé un exercice dans un bouquin de MPSI demandant de calculer le max de $|z^3 - z + 2|$ sur le cercle unité de ${\mathbb C }$. On trouve qu'il vaut $\sqrt{13}$, atteint en $e^{\pm \frac{2i\pi}{3}}$. Pour le trouver, j'utilise une méthode un peu "bourrin", qui permet aussi de trouver le min, mais qui me semble quelque peu élaborée pour un élève entrant en prépa. D'où mon hésitation à la poser en colle.

Quelqu'un aurait-il une méthode plus abordable pour obtenir cette valeur~?

Cidrolin · September 2019

Poser $z=\cos x +i \sin x$, calculer $z^3-z+2$, et son module.
Étudier enfin les variations de $4\cos 3x -4 \cos x -2 \cos 2x $ et conclure.

Frédéric Bosio · September 2019

C'est ce que j'ai fait (en posant même directement $z = e^{i \theta })$, mais cela me semble un peu long et demande quelque expérience. N'y aurait-il pas une preuve très simple qui m'a échappé (et du genre marcherait pour le max et pas pour le min)~?

bisam · September 2019

Si tu développes l'expression polynomiale obtenue par Cidrolin en un polynôme en cos(x), l'étude des variations devient très abordable.

Lake · September 2019

Bonjour,

Compte tenu que $|z|^2=z\bar{z}=1$, on peut aussi calculer $|z^3-z+2|^2$ en fonction de $x=\Re (z)$.

On obtient $|z^3-z+2|^2=4(4x^3-x^2-4x+2)$ avec un maximum sur $[-1,1]$ en $-\dfrac{1}{2}$.

Ce n'est pas vraiment plus "simple" que l'autre méthode.

aléa · September 2019

Excellente remarque de bisam et Lake; c'est même une méthode.

Pour tout polynôme $P$ à coefficients réels, il existe $Q$ à coefficients réels de même degré avec

$|P(e^{i\theta})|^2=Q(\cos \theta)$.

Frédéric Bosio · September 2019

Merci de vos réponses. Finalement je n'ai pas posé cet exercice en colles. Mais il en fallait moins pour les déstabiliser. Un élève a eu bien du mal à trouver ce qu'on obtenait en ajoutant $1$ à $1+i$.

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