Des séries mais pas entières

bisam · September 2019

Bonjour,

Un élève m'a rapporté l'exercice suivant d'un oral qu'il a eu à Polytechnique :
Soit $a$ et $b$ deux suites réelles positives telles que $\displaystyle \sum_{n\geq 0} a_n$ converge, de somme égale à $1$, $\displaystyle \sum_{n\geq 0} na_n$ diverge et $\displaystyle \sum_{n\geq 0} b_n$ converge.
1) Montrer qu'il existe une unique suite $u$ telle que $\displaystyle \forall n\in\mathbb{N}, u_n =\sum_{k=0}^n( a_{n-k}u_k) + b_n$ et que cette suite est positive.
2) Montrer que cette suite $u$ est bornée.
3) Montrer que si $u$ converge alors sa limite est nulle.
J'ai su faire l'exercice, même si j'ai un peu galéré avant de trouver comment faire la deuxième question... mais j'aurais voulu mettre cet exercice dans le chapitre sur les séries numériques alors que la seule méthode que j'aie trouvée pour répondre à la 3ème question utilise des résultats sur les séries entières (et même un résultat sur les fonctions génératrices de variables aléatoires à valeurs dans $\mathbb{N}$ mais on peut s'en passer).

Voyez-vous un moyen de faire uniquement avec les suites et séries numériques ?

side · September 2019

supp

bisam · September 2019

Pour la question 2, j'ai procédé comme toi... mais j'ai mis un moment avant d'y penser.

Pour la 3, il y a un lapsus dans ta proposition.
J'avais bien pensé à utiliser les restes de la série des $(a_n)$ et tenté une transformation d'Abel, mais ça ne marchait pas aussi bien que je le voulais.
Je vais le retenter.

side · September 2019

supp

Siméon · September 2019

Bonsoir,
Je n'ai pas vérifié les calculs ni les détails (désolé), mais il me semble qu'avec la notation précédente pour les restes, on a pour tout $N \in \mathbb N$ :
$$
\sum_{n=0}^N u_n R_{N-m} = \sum_{n=0}^N u_n - \sum_{n=0}^N \sum_{k=0}^n a_{n-k}u_k = \sum_{n=0}^N b_n,
$$
dont la limite est finie pour $N \to +\infty$. Et que par ailleurs, si $u_n \to \ell$, on obtient à la Cesàro :
$$
\sum_{n=0}^N u_n R_{N-m} = \ell\sum_{n=0}^N R_n + o(\sum_{n=0}^N R_n),
$$
en utilisant le fait que $\sum_{n=0}^N R_n \xrightarrow[n\to+\infty]{} \sum_{n=0}^{+\infty} na_n = +\infty$. D'où une contradiction si $\ell \neq 0$.