Inéquation trigonométrique
Bonjour
Je cherche à résoudre l'inéquation $\sin(2x) > -3/4[$ sur l'intervalle $-\pi/2\leq x \leq \pi/2$.
Je trouve des solutions partielles autour de $1/2\arcsin(-3/4)$ et $\pi/2-1/2\arcsin(-3/4) $ mais pas tout l'ensemble.
Quel est l'ensemble solution complet ?
Merci pour votre aide.
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Je cherche à résoudre l'inéquation $\sin(2x) > -3/4[$ sur l'intervalle $-\pi/2\leq x \leq \pi/2$.
Je trouve des solutions partielles autour de $1/2\arcsin(-3/4)$ et $\pi/2-1/2\arcsin(-3/4) $ mais pas tout l'ensemble.
Quel est l'ensemble solution complet ?
Merci pour votre aide.
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Réponses
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Bonjour
Que signifie "autour de"?
D'où sort ce pi/2-0,5arcin (-0,75)? (J'ai ma petite idée sur ce point)
-pi <2x <pi, faire un cercle trigonométrique, "placer" ce "arcin (-0,75)" et la lumière devrait venir;-) -
Bonjour,
@Jerom-555 :
Résous sous forme graphique de deux façons :
- sur le cercle trigonométrique,
- dans le plan du graphe de la fonction $x \mapsto \sin(2x)$ que tu déduis de celui de la fonction $x \mapsto \sin(x)$.
Trouves-tu le même résultat ?
Résous à présent analytiquement. -
Je pense que je résous bien $\sin(2x)=-3/4$ (avec la symétrie autour de $\pi/2$ j'ai 2 solutions possibles puis je passe de $\sin(2x)$ à $\sin(x)$) mais je ne vois pas les bornes de la solution de l'arc entre $-\pi/2$ et $\pi/2$.
Je vais essayer par le graphe de fonction. -
Bonjour,
Sur le cercle trigonométrique, je trouve un angle $-\pi/2<2 a<0$ tel que $\sin(2a)=-3/4.$
Comme $-\pi/2\leq x\leq \pi/2$ alors $-\pi \leq 2x\leq \pi$ : $2x$ parcourt donc tout le cercle.
$\sin(2x)>-3/4=\sin(2a)$ : les solutions ont un sinus plus grand que... et donc sont au-dessus. On trouve donc $2a < 2x<\pi-2a.$
On vérifie :
- l'inégalité de gauche donne $-\pi/2 < 2a <2x < \pi$. Pour $x\leq0$ on a $-\pi/2 <2a < 2x \leq 0$ et comme la fonction sinus est monotone sur $[-\pi/2,0]$ alors $-3/4=\sin(2a)<\sin(2x).$ Pour $x>0$ on a $-\pi/2 < 2a<0<2x<\pi$ et comme la fonction sinus est positive sur $[0, \pi]$ alors $-3/4=\sin(2a) <0<\sin(2x).$
L'inégalité de droite devrait se vérifier de façon similaire. -
Jerom-555
Quelles sont les deux solutions de l'équation sin (2x)=-3/4 sur l'intervalle donné ? 0,5arcsin(-3/4) et ...?
Je pense que tu te focalises sur sin(a)=sin(b) équivaut à a=b ou a=pi-b en oubliant le modulo 2 pi (pi-b=-pi-b par exemple modulo 2pi)
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Bonjour!
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