Inéquation trigonométrique

Bonjour,

@Jerom-555 :

Résous sous forme graphique de deux façons :
- sur le cercle trigonométrique,
- dans le plan du graphe de la fonction $x \mapsto \sin(2x)$ que tu déduis de celui de la fonction $x \mapsto \sin(x)$.

Trouves-tu le même résultat ?

Résous à présent analytiquement.

Bonjour,

Sur le cercle trigonométrique, je trouve un angle $-\pi/2<2 a<0$ tel que $\sin(2a)=-3/4.$
Comme $-\pi/2\leq x\leq \pi/2$ alors $-\pi \leq 2x\leq \pi$ : $2x$ parcourt donc tout le cercle.
$\sin(2x)>-3/4=\sin(2a)$ : les solutions ont un sinus plus grand que... et donc sont au-dessus. On trouve donc $2a < 2x<\pi-2a.$

On vérifie :
- l'inégalité de gauche donne $-\pi/2 < 2a <2x < \pi$. Pour $x\leq0$ on a $-\pi/2 <2a < 2x \leq 0$ et comme la fonction sinus est monotone sur $[-\pi/2,0]$ alors $-3/4=\sin(2a)<\sin(2x).$ Pour $x>0$ on a $-\pi/2 < 2a<0<2x<\pi$ et comme la fonction sinus est positive sur $[0, \pi]$ alors $-3/4=\sin(2a) <0<\sin(2x).$

L'inégalité de droite devrait se vérifier de façon similaire.