J'ajoute que tu as le droit d'écrire $\sum \frac1{k^2+1}$ ou $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^n \frac1{k^2+1}$ ou $ \sum_{k=1}^\infty \frac1{k^2+1}$ mais $\sum_1^n \frac1{k^2+1}$ ne veut rien dire et indique juste que tu ne comprends pas ta question
En gros c'est Euler qui a découvert que les fonctions trigonométriques du style $1/\sin z$, $1/(e^z-1)$ et $\tan z$ étaient des séries de leurs pôles, mais il a eu beaucoup de mal à le prouver et il faut attendre les séries de Fourier et l'analyse complexe pour que ça devienne clair pour tout le monde, par exemple $$\pi \ \operatorname{cotan} \pi z = \sum_k \frac1{z+k}$$
Cet exercice est bien étonnant dans cette série. Comme le sous-entendent Poirot et reuns, personne d'entre nous n'a vu une expression fermée (sans signe $\sum$) pour la somme finie $\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2+1}$ alors que nous avons tous calculé quelques dizaines de fois la limite lorsque $n$ tend vers l'infini.
PS : ce n'est pas tout à fait vrai. Maple donne l'expression \[-\frac{\mathrm{i}}{2}\psi \left( n+1-\mathrm{i} \right) +\frac{\mathrm{i}}{2}\psi \left( n+1+\mathrm{i} \right) +\frac{\mathrm{i}}{2}\psi
\left( 1-\mathrm{i} \right) -\frac{\mathrm{i}}{2}\psi \left( 1+\mathrm{i} \right) \]mais la fonction $\psi$ est quand même d'usage un peu délicat.
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En gros c'est Euler qui a découvert que les fonctions trigonométriques du style $1/\sin z$, $1/(e^z-1)$ et $\tan z$ étaient des séries de leurs pôles, mais il a eu beaucoup de mal à le prouver et il faut attendre les séries de Fourier et l'analyse complexe pour que ça devienne clair pour tout le monde, par exemple $$\pi \ \operatorname{cotan} \pi z = \sum_k \frac1{z+k}$$
PS : ce n'est pas tout à fait vrai. Maple donne l'expression \[-\frac{\mathrm{i}}{2}\psi \left( n+1-\mathrm{i} \right) +\frac{\mathrm{i}}{2}\psi \left( n+1+\mathrm{i} \right) +\frac{\mathrm{i}}{2}\psi
\left( 1-\mathrm{i} \right) -\frac{\mathrm{i}}{2}\psi \left( 1+\mathrm{i} \right) \]mais la fonction $\psi$ est quand même d'usage un peu délicat.
edit : ah non pardon il y a les deux !!
$\displaystyle \sum_{k=1}^{n}{\dfrac{1}{k^2-1}}$
Expression beaucoup plus familière, je sors ma longue-vue. X:-(