Norme uniforme
Bonjour,
Je n'arrive pas du tout à résoudre une question d'un de mes exercices que je vous écris :
On note E=C([0,1],R)
La norme de la convergence uniforme : pour tout f de E : ll f ll[small]oo[/small] = sup [small]x dans [0,1][/small] l f(x) l
Montrer que A={f dans E, pour tout x dans [0,1], f(x)>0} est ouvert dans (E, ll . ll[small]oo[/small])
Je n'arrive pas du tout à résoudre une question d'un de mes exercices que je vous écris :
On note E=C([0,1],R)
La norme de la convergence uniforme : pour tout f de E : ll f ll[small]oo[/small] = sup [small]x dans [0,1][/small] l f(x) l
Montrer que A={f dans E, pour tout x dans [0,1], f(x)>0} est ouvert dans (E, ll . ll[small]oo[/small])
Réponses
-
Bonjour,
En gros l'idée c'est que si une fonction est strictement positive, si tu bouges un peu son graphe elle le reste. -
Du coup il faudrait que je montre par exemple que f(x)-1/n reste dans le complémentaire de A?
-
Peux-tu construire un rectangle $[0,1]\times \,]c,d[$ où $c>0$ contenant strictement la courbe de $f$ ?
-
Non, il faut que tu montres que pour un $r > 0$ suffisamment petit, toute fonction $g$ continue sur $[0, 1]$ vérifiant $||f-g||_{\infty} < r$ est strictement positive sur $[0, 1]$.
-
Je conseillais plutôt de montrer directement que c'est ouvert (plutôt que de montrer que le complémentaire est fermé).
-
D'accord merci beaucoup, je vais tenter ça.
Et pour le rectangle je ne sais pas du tout -
le rectangle se construit à partir des bornes qui sont atteintes : fais un dessin
ce rectangle est une boule ouverte! -
La clé consiste à considérer l'infimum. Tu peux même montrer que $f \mapsto \inf_{[0;1]} f$ est continue sur $(E,\|\cdot\|_\infty)$, ce qui trivialise ta question.
-
Re-bonjour, j'essaie toujours de faire cette question et j'ai décidé d'utiliser la méthode avec une deuxième fonction continue g sur [0,1] comme énoncé par Poiroit plus haut. Je voulais juste savoir si le r allait bien :
r= inf[small][0,1][/small] (g)/2
Merci -
Il n'y a pas une deuxième fonction continue $g$ à considérer mais une infinité. Tu sembles inverser des quantificateurs. En particulier le $r$ à utiliser ne peut pas dépendre de la fonction $g$. Relis calmement mon message précédent, et réfléchis à l'ordre d'apparition de chaque terme.
-
J'ai réussi a créer une boule ouverte de centre f(x) et de rayon r = inf [small][0,1][/small] f/2
arrivé vers la fin des inéquations je réalise une étude de cas inf f < inf g (ceci est logique) g>0 donc appartient a A mais l'autre sens je ne vois pas l'astuce -
L'appartenance à la boule assure que g est dans A.
As-tu fait un dessin avec la courbe d'une fonction f qui est dans A, et la traduction géométrique de la boule pour les autres fonctions qui y sont ?? -
oui et c'est bon j'ai réussi en posant r=inf f
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres