Norme uniforme

Vanek
Vanek
dans Analyse
Bonjour,

Je n'arrive pas du tout à résoudre une question d'un de mes exercices que je vous écris :
On note E=C([0,1],R)
La norme de la convergence uniforme : pour tout f de E : ll f ll[small]oo[/small] = sup [small]x dans [0,1][/small] l f(x) l

Montrer que A={f dans E, pour tout x dans [0,1], f(x)>0} est ouvert dans (E, ll . ll[small]oo[/small])

Réponses

  • Crapul
    Crapul
    Bonjour,
    En gros l'idée c'est que si une fonction est strictement positive, si tu bouges un peu son graphe elle le reste.
  • Vanek
    Vanek
    Du coup il faudrait que je montre par exemple que f(x)-1/n reste dans le complémentaire de A?
  • Said Fubini
    Said Fubini
    Peux-tu construire un rectangle $[0,1]\times \,]c,d[$ où $c>0$ contenant strictement la courbe de $f$ ?
  • Poirot
    Poirot
    Non, il faut que tu montres que pour un $r > 0$ suffisamment petit, toute fonction $g$ continue sur $[0, 1]$ vérifiant $||f-g||_{\infty} < r$ est strictement positive sur $[0, 1]$.
  • Crapul
    Crapul
    Je conseillais plutôt de montrer directement que c'est ouvert (plutôt que de montrer que le complémentaire est fermé).
  • Vanek
    Vanek
    D'accord merci beaucoup, je vais tenter ça.
    Et pour le rectangle je ne sais pas du tout
  • Said Fubini
    Said Fubini
    le rectangle se construit à partir des bornes qui sont atteintes : fais un dessin
    ce rectangle est une boule ouverte!
  • Siméon
    Siméon
    La clé consiste à considérer l'infimum. Tu peux même montrer que $f \mapsto \inf_{[0;1]} f$ est continue sur $(E,\|\cdot\|_\infty)$, ce qui trivialise ta question.
  • Vanek
    Vanek
    Re-bonjour, j'essaie toujours de faire cette question et j'ai décidé d'utiliser la méthode avec une deuxième fonction continue g sur [0,1] comme énoncé par Poiroit plus haut. Je voulais juste savoir si le r allait bien :
    r= inf[small][0,1][/small] (g)/2
    Merci
  • Poirot
    Poirot
    Il n'y a pas une deuxième fonction continue $g$ à considérer mais une infinité. Tu sembles inverser des quantificateurs. En particulier le $r$ à utiliser ne peut pas dépendre de la fonction $g$. Relis calmement mon message précédent, et réfléchis à l'ordre d'apparition de chaque terme.
  • Vanek
    Vanek
    J'ai réussi a créer une boule ouverte de centre f(x) et de rayon r = inf [small][0,1][/small] f/2
    arrivé vers la fin des inéquations je réalise une étude de cas inf f < inf g (ceci est logique) g>0 donc appartient a A mais l'autre sens je ne vois pas l'astuce
  • gerard0
    gerard0
    L'appartenance à la boule assure que g est dans A.

    As-tu fait un dessin avec la courbe d'une fonction f qui est dans A, et la traduction géométrique de la boule pour les autres fonctions qui y sont ??
  • Vanek
    Vanek
    oui et c'est bon j'ai réussi en posant r=inf f
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