Pour toute fonction $f \colon \R \to \R$, on peut poser \[
\forall x \in \R,\quad g(x) = \sqrt[3]{1-f(x)^3},
\] ce qui définit une fonction $g \colon \R \to \R$ et alors \[
\forall x \in \R,\quad f(x)^3+g(x)^3=1.\]
En fait, de la même manière qu'il existe des séries définie pour f(x)^2+g(x)^2=1, (que sont sinus et cosinus),
je me demande comment répondre même de façon générale à f(x)^n+g(x)^n=1...(?).
Pour $n$ impair, la réponse de Héhéhé s'adapte pour montrer que pour n'importe quelle fonction $f$, il existe $g$ telle que pour tout réel $x$, $f^n(x)+g^n(x)=1$. Quand $n$ est pair ça se complique, mais il y a toujours une infinité de couples solutions.
Il faut imposer plus de conditions sur $f$ et $g$ sinon la question est triviale et inintéressante. Par exemple pour tout entier $n \geq 1$ et tout $x$ réel, on a $f^n(x) + g^n(x)=1$, où $f : x \mapsto 1$ et $g : x \mapsto 0$.
Est ce qu’il y a une fonction holomorphe assez naturelle dont l’image est la courbe d’équation $x^3+y^3=1$? Je crois que ce qu’il cherche à faire c’est généraliser la construction de l’exponentielle complexe puis en prendre la partie réelle et imaginaire. Au passage la courbe mentionnée est plutôt jolie. Enfin je m’emballe sûrement.
Edit : plutot dont la restriction à $i\R$ est la courbe d’équation $x^3+y^3=1$
Même pour $f^2+g^2=1$ il y a plein d'autres solutions que $\sin$ et $\cos$, en fait il y a exactement toutes les fonctions de la forme $\sin\circ h$ et $\cos \circ h$ où $h$ est une fonction quelconque.
Pour $n$ impair, avec $V_{n,\R} = \{ (x,y)\in \R^2, x^n+y^n=1\}$ alors $f(u) = (1+u^n, (1-(1+u^n)^n)^{1/n})$ est bi-analytique $\R \to V_{n,\R} $.
Sinon pour $n=3$ (et $n=4$) alors $x^3+y^3=1$ est une courbe elliptique donc on a une paramétrisation par des fonctions méromorphes sur $\C$ doublement périodiques,
et pour $n \ge 5$ la courbe $x^n+y^n=1$ est de genre $(n-1)(n-2)/2\ge 2$ (car la courbe projective $x^n+y^n-z^n=0$ est non-singulière de degré $n$) donc on ne peut paramétrer que par des fonctions méromorphes sur $\Bbb{H}/\Gamma$ pour un groupe fushien $\Gamma$ et ces fonctions ne s'étendent pas sur $\C$.
Pour en revenir au sujet, tu peux prendre simplement :
$$
f(x) = \sqrt[3]{\cos(x)^2},\qquad g(x) = \sqrt[3]{\sin(x)^2}.
$$
Mais ce n'est qu'un choix parmi d'autres. Comme cela a été rappelé, le cercle non plus n'a de paramétrisation unique, même s'il est vrai que celle donnée par $(\cos,\sin)$ a le bon goût de se faire à vitesse constante (tu peux chercher à résoudre le même problème ici).
Ces exemples s'inscrivent dans le cadre des courbes de Lamé, dont tu trouveras quelques propriétés et de jolies illustrations sur mathcurve.com.
Réponses
\forall x \in \R,\quad g(x) = \sqrt[3]{1-f(x)^3},
\] ce qui définit une fonction $g \colon \R \to \R$ et alors \[
\forall x \in \R,\quad f(x)^3+g(x)^3=1.\]
je me demande comment répondre même de façon générale à f(x)^n+g(x)^n=1...(?).
Il faut imposer plus de conditions sur $f$ et $g$ sinon la question est triviale et inintéressante. Par exemple pour tout entier $n \geq 1$ et tout $x$ réel, on a $f^n(x) + g^n(x)=1$, où $f : x \mapsto 1$ et $g : x \mapsto 0$.
Edit : plutot dont la restriction à $i\R$ est la courbe d’équation $x^3+y^3=1$
Ne peut-on considérer que si n est pair, les fonctions sin et cos "suffisent"...??
... eu, non, finalement.
Sinon pour $n=3$ (et $n=4$) alors $x^3+y^3=1$ est une courbe elliptique donc on a une paramétrisation par des fonctions méromorphes sur $\C$ doublement périodiques,
et pour $n \ge 5$ la courbe $x^n+y^n=1$ est de genre $(n-1)(n-2)/2\ge 2$ (car la courbe projective $x^n+y^n-z^n=0$ est non-singulière de degré $n$) donc on ne peut paramétrer que par des fonctions méromorphes sur $\Bbb{H}/\Gamma$ pour un groupe fushien $\Gamma$ et ces fonctions ne s'étendent pas sur $\C$.
Pour en revenir au sujet, tu peux prendre simplement :
$$
f(x) = \sqrt[3]{\cos(x)^2},\qquad g(x) = \sqrt[3]{\sin(x)^2}.
$$
Mais ce n'est qu'un choix parmi d'autres. Comme cela a été rappelé, le cercle non plus n'a de paramétrisation unique, même s'il est vrai que celle donnée par $(\cos,\sin)$ a le bon goût de se faire à vitesse constante (tu peux chercher à résoudre le même problème ici).
Ces exemples s'inscrivent dans le cadre des courbes de Lamé, dont tu trouveras quelques propriétés et de jolies illustrations sur mathcurve.com.