Suite : partie stable et convergence

Bonjour,

Je suis en train de préparer un DM dont l'un des exercices demande d'étudier la convergence d'une suite récurrente et si elle converge, de trouver la limite. Cela sent le piège. J'ai l'impression qu'on ne doit pas toucher aux limites tant que la convergence n'est pas prouvée. Déjà, est-ce possible?

Soit la suite récurrente $(u_n )_{n\in \mathbb{N}}$, je compte procéder ainsi:
1) Trouver la partie de $\mathbb{R}$ stable par $f(u_n )$ et qui inclus $u_0$ pour dire que $(u_n )_{n\in \mathbb{N}}$ existe.
2) Étudier si elle est strictement croissante/décroissante
3) Si oui, trouver majorant/minorant différent de la limite pour voir si la suite est bornée (hum hum hum)
4) En conclure sur la convergence/divergence
5) Chercher une limite

Problème N°1... j'ai du mal avec la partie stable. Dans le cours de Christophe Bertault page 14 on étudie une suite : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \frac{u_n}{1+u_{n}^{2}}$. Il prend $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$ comme intervalle stable par $f$. Pourquoi n'est pas prendre $\mathbb{R}$ tout court? Si $x<0$, alors $\frac{x}{1+x^{2}}$ est aussi négative. Et d'ailleurs la limite $\ell$ doit appartenir à l'intervalle stable? Or 0 n'appartient pas à $\mathbb{R}_{+}^{\ast}$.

Si je prends son exercice 22, pourriez vous me dire si j'ai bien trouver l'intervalle $D$ stable par $f$ :

Si $u_0 = 0$ et $u_{n+1}= \sqrt{u_n +4}$, alors $D = [-4;\infty[$ ou prendre $\mathbb{R}_{+}$ ?
Si $u_0 = 4$ et $u_{n+1}= u_n - \ln u_n$, alors $D = \mathbb{R}_{+}^{\ast}$ ?

P.S. "voir le cours" est, hélas, impossible : pas de cours, pas d'exos.
P.S.S. dans l'exercice de DM $f(u_n )$ n'est pas k-contractante parce que j'obtiens $|x+y|\cdot |x-y| \leq k|x-y|$