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Coordonnées polaires

Envoyé par naima12 
Coordonnées polaires
il y a six semaines
Bonsoir,

Je considère une fonction $f(x)$ définie dans $\mathbb{R}^2$ avec les coordonnées polaires par $\frac{r^6}{(\log(r))^3}(1+\cos(\theta))$ quand $r>1$.

Je veux calculer $\partial_x^{\alpha}f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}^2$ et tout $\alpha\in\mathbb{N}^2$ avec $1\le |\alpha|\le 3$.

Merci de m'aider



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par JLT.
Re: Coordonné polaire
il y a six semaines
Citation

tout $\alpha \in \mathbb{N}^2$

Par exemple, $\alpha=(2,3)$... qu'est-ce que $|(2,3)|$ ?
Re: Coordonné polaire
il y a six semaines
Re: Coordonnées polaires
il y a six semaines
$|\alpha=(2,3)|=5$ ? Donc, pour avoir $1\leq |\alpha| \leq3$ il faut que $\alpha \in \{(0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (3,0)\}$ ?
Re: Coordonné polaire
il y a six semaines
Moi, ce que je ne comprends pas c'est ce $\partial_x$. Que signifie $\partial_{(2,3)}$ ?

Cordialement.
Re: Coordonnées polaires
il y a six semaines
C'est ma question que j'allais poser après thumbs down ; bien qu'il s'agisse de $\partial^{(2,3)}$, en fait.
Re: Coordonnées polaires
il y a six semaines
Je connaissais plutôt $\partial_{2,3}$ pour la dérivée partielle double sur la première variable dérivée ensuite 3 fois sur la deuxième.

Et ce sont des dérivées partielles par rapport aux composantes cartésiennes (traditionnellement x et y). Comme l'expression se transforme sans problème en fonction de ces composantes, il suffit de faire cette traduction.
Re: Coordonnées polaires
il y a six semaines
avatar
Bonjour,

Notation standard : $\partial_x^{|a|}$ avec $a=(2,3)$ et $x=(r,\theta)$ signifie $\partial_r^2 \partial_\theta^3$... avec $\partial_r^2=\partial_r\partial_r$...
Re: Coordonnées polaires
il y a six semaines
Ah, d'accord.....
Re: Coordonnées polaires
il y a six semaines
OK !

Mais alors, quelle est la difficulté pour Naima12 ? C'est de la dérivation élémentaire.
Re: Coordonnées polaires
il y a six semaines
Ma question est la suivante: comment sont exprimés $\partial_x\,\partial_y,\,\partial_x^2,\,\partial_x\partial_y,\,\partial_y^2,\,\partial_x^3,\,\partial_x^2\partial_y,\,\partial_x\partial_y^2,\,\partial_y^3$ à l'aide de $\partial_r$ et $\partial_\theta.$

Je sais que
$\partial_x=\cos\theta\partial_r-\frac{\sin\theta}{r}\partial_\theta,\,\partial_y=\sin\theta\partial_r+\frac{\cos\theta}{r}\partial_\theta.$

mais je ne connais pas les formules pour le reste. Merci de m'aider.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a six semaines et a été effectuée par AD.
Re: Coordonnées polaires
il y a six semaines
avatar
Bonjour,

$x$ est un vecteur de $\R^2$, non ? Ce n’est pas la coordonnée cartésienne.
Vérifie tes notations et ta description de la fonction $f.$

D’ailleurs quelle est cette fonction $f$ ? Ça évitera de perdre son temps sur des notations.
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