Coordonnées polaires

naima12
naima12
dans Analyse
Bonsoir,

Je considère une fonction $f(x)$ définie dans $\mathbb{R}^2$ avec les coordonnées polaires par $\frac{r^6}{(\log(r))^3}(1+\cos(\theta))$ quand $r>1$.

Je veux calculer $\partial_x^{\alpha}f(x)$ pour tout $x\in\mathbb{R}^2$ et tout $\alpha\in\mathbb{N}^2$ avec $1\le |\alpha|\le 3$.

Merci de m'aider

Réponses

  • André49
    André49
    tout $\alpha \in \mathbb{N}^2$

    Par exemple, $\alpha=(2,3)$... qu'est-ce que $|(2,3)|$ ?
  • naima12
    naima12
    2+3=5
  • André49
    André49
    $|\alpha=(2,3)|=5$ ? Donc, pour avoir $1\leq |\alpha| \leq3$ il faut que $\alpha \in \{(0,1), (0,2), (0,3), (1,0), (1,1), (1,2), (2,0), (2,1), (3,0)\}$ ?
  • gerard0
    gerard0
    Moi, ce que je ne comprends pas c'est ce $\partial_x$. Que signifie $\partial_{(2,3)}$ ?

    Cordialement.
  • André49
    André49
    C'est ma question que j'allais poser après (tu) ; bien qu'il s'agisse de $\partial^{(2,3)}$, en fait.
  • gerard0
    gerard0
    Je connaissais plutôt $\partial_{2,3}$ pour la dérivée partielle double sur la première variable dérivée ensuite 3 fois sur la deuxième.

    Et ce sont des dérivées partielles par rapport aux composantes cartésiennes (traditionnellement x et y). Comme l'expression se transforme sans problème en fonction de ces composantes, il suffit de faire cette traduction.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    Notation standard : $\partial_x^{|a|}$ avec $a=(2,3)$ et $x=(r,\theta)$ signifie $\partial_r^2 \partial_\theta^3$... avec $\partial_r^2=\partial_r\partial_r$...
  • André49
    André49
    Ah, d'accord.....
  • gerard0
    gerard0
    OK !

    Mais alors, quelle est la difficulté pour Naima12 ? C'est de la dérivation élémentaire.
  • naima12
    naima12
    Ma question est la suivante: comment sont exprimés $\partial_x\,\partial_y,\,\partial_x^2,\,\partial_x\partial_y,\,\partial_y^2,\,\partial_x^3,\,\partial_x^2\partial_y,\,\partial_x\partial_y^2,\,\partial_y^3$ à l'aide de $\partial_r$ et $\partial_\theta.$

    Je sais que
    $\partial_x=\cos\theta\partial_r-\frac{\sin\theta}{r}\partial_\theta,\,\partial_y=\sin\theta\partial_r+\frac{\cos\theta}{r}\partial_\theta.$

    mais je ne connais pas les formules pour le reste. Merci de m'aider.
  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $x$ est un vecteur de $\R^2$, non ? Ce n’est pas la coordonnée cartésienne.
    Vérifie tes notations et ta description de la fonction $f.$

    D’ailleurs quelle est cette fonction $f$ ? Ça évitera de perdre son temps sur des notations.
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