Suite récurrente complexe et séries
dans Analyse
Bonjour
J'ai deux suites :
$(u_n )_{n \in \mathbb{N}} ,\qquad u_0 =0 ,\qquad u_{n+1} = 0.25 + u_{n}^{2},$
$(v_n ) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}, \quad v_0 =0, \qquad v_{n+1} = A + v_{n}^{2}. $
La première est étudiée grâce à vous.
Pour la deuxième on dit que $A$ est un nombre complexe fixé dans le disque de rayon $0.25$ (il est marqué $D(0; 0.25)$. Et on demande de prouver que $|v_n | \leq u_n$, puis prouver que $(v_n )$ est une suite convergente à l'aide d'une série adéquate (heu...).
Je n'ai pas d'idée...
On peut écrire $A$ comme $A = a+ib = |A| e^{i\theta}$ avec $a,b \in \mathbb{R}$ et dans ce cas :
$v_1 = |A| e^{i\theta}$ et donc $|v_1 | \leq 0.25$ par définition et donc $|v_1 | \leq u_1$ est vraie.
Je peux supposer que $|v_n | \leq u_n $, mais je ne vois pas où cela peut mener...
Il est possible de trouver le module de $v_{n+1} = A + v_n $ pour le comparer à $u_{n+1}$ ?
Je comprends qu'est-ce que c'est une suite complexe convergente, mais je n'ai pas trouvé la définition formelle. Et de toute façon, comment prouve-t-on qu'une suite récurrente convexe est convergente ? Les exemples des suites convexe heu complexe convergentes/divergentes ? Au vu de l'énoncé si on prouve que $|v_n|$ est plus petit au égal à $u_n$, alors $|v_n|$ sera toujours plus petit ou égal à 1/2. Les valeurs de $v_n$ seront dans le disque de rayon 1/2. Donc convergent. Mais comment formuler tout cela ?
Auriez vous des exemples ? Merci à l'avance.
J'ai deux suites :
$(u_n )_{n \in \mathbb{N}} ,\qquad u_0 =0 ,\qquad u_{n+1} = 0.25 + u_{n}^{2},$
$(v_n ) \in \mathbb{C}^{\mathbb{N}}, \quad v_0 =0, \qquad v_{n+1} = A + v_{n}^{2}. $
La première est étudiée grâce à vous.
Pour la deuxième on dit que $A$ est un nombre complexe fixé dans le disque de rayon $0.25$ (il est marqué $D(0; 0.25)$. Et on demande de prouver que $|v_n | \leq u_n$, puis prouver que $(v_n )$ est une suite convergente à l'aide d'une série adéquate (heu...).
Je n'ai pas d'idée...
On peut écrire $A$ comme $A = a+ib = |A| e^{i\theta}$ avec $a,b \in \mathbb{R}$ et dans ce cas :
$v_1 = |A| e^{i\theta}$ et donc $|v_1 | \leq 0.25$ par définition et donc $|v_1 | \leq u_1$ est vraie.
Je peux supposer que $|v_n | \leq u_n $, mais je ne vois pas où cela peut mener...
Il est possible de trouver le module de $v_{n+1} = A + v_n $ pour le comparer à $u_{n+1}$ ?
Je comprends qu'est-ce que c'est une suite complexe convergente, mais je n'ai pas trouvé la définition formelle. Et de toute façon, comment prouve-t-on qu'une suite récurrente convexe est convergente ? Les exemples des suites convexe heu complexe convergentes/divergentes ? Au vu de l'énoncé si on prouve que $|v_n|$ est plus petit au égal à $u_n$, alors $|v_n|$ sera toujours plus petit ou égal à 1/2. Les valeurs de $v_n$ seront dans le disque de rayon 1/2. Donc convergent. Mais comment formuler tout cela ?
Auriez vous des exemples ? Merci à l'avance.
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Réponses
1) Des calculs élémentaires :
$|v_{n+1}| \le |A|+|u_n^2| = |A|+u_n^2 \le 0,25 +u_n^2$
Le fait de regarder la valeur absolue d'uns somme doit te faire penser à l'inégalité triangulaire, et l'essayer ...
2) Une définition (cours) : La suite complexe $z_n$ a pour limite finie $\ell$ si, et seulement si $|z_n-\ell| \to 0$.
3) Une grosse interrogation : "Les valeurs de $v_n$ seront dans le disque de rayon 1/2. Donc convergent." Bizarre, bizarre !! la suite $v_n=0,2e^{in}$ convergerait ???
4) Une remarque : " à l'aide d'une série adéquate" Est un renseignement assez important.
Cordialement.
\forall\epsilon>0,\ \exists N\ge0,\ \forall n\ge N,\ |u_n-\ell|\le\epsilon.\]On montre facilement qu'une suite $(u_n)$ est convergente SSI sa partie réelle et sa partie imaginaire sont convergentes.
si les 2 racines étaient de module supérieur à 1/2 le produit aurait un module supérieur à 1/4 donc au moins une des 2 a un module strictement inférieur à 1/2 comme leur somme vaut 1 ,il est impossible que les 2 aient un module strictement inférieur à 1/2 .soit $l$ la racine de module strictement inférieur à 1/2}.
$v_{n+1 }-l=v_n^2+A-l=v_n^2-l^2 $ , si il existe n tel que $v_n=l$ alors la suite est stationnaire .
sinon $ \frac{v_{n+1}-l }{v_n-l} =v_n+l$ or $|v_n+l | \leq \frac{1}{2}+|l|$ qui est strictement inférieur à 1.
cela prouve la convergence de la suite $v_n$ vers $l$
ce que tu écris ne correspond pas à l'énoncé initial.
Cordialement.
L'inégalité $\left\vert v_{n}\right\vert \leq u_{n}$ s'établit par une récurrence immédiate.
La suite $v_{n+1}=v_{n}^{2}+A$ est l'itération de la fonction $f:z\mapsto z^{2}+A$. Si $A\neq \frac{1}{4}$, cette fonction a deux points fixes dont le produit est $A$.
Supposons que $\left\vert A\right\vert <\frac{1}{4}$ (strictement). Alors l'un des points fixes $\xi $ est tel que : $\left\vert \xi \right\vert <\frac{1}{2}$.
En soustrayant $v_{n+1}=v_{n}^{2}+A
$ et $\ \xi =\xi ^{2}+A$, il vient : $v_{n+1}-\xi =v_{n}^{2}-\xi ^{2}$, d'où :
$\left\vert v_{n+1}-\xi \right\vert =\left\vert v_{n}+\xi \right\vert
\left\vert v_{n}-\xi \right\vert \leq (\left\vert v_{n}\right\vert
+\left\vert \xi \right\vert )\left\vert v_{n}-\xi \right\vert \leq
(u_{n}+\left\vert \xi \right\vert )\left\vert v_{n}-\xi \right\vert \leq (%
\frac{1}{2}+\left\vert \xi \right\vert )\left\vert v_{n}-\xi \right\vert $.
Comme $\frac{1}{2}+\left\vert \xi \right\vert <1$, c'est terminé.
Reste a étudier le cas $\left\vert A\right\vert =\frac{1}{4}$. Pour l'instant j'arrête et je vais dîner.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
NB. En tapant ce message je n'avais pas vu le message de lale et j'ai dit à peu près la même chose. Les grands esprits se rencontrent ;-).
@gerard0, pourquoi dans 2) tu mets $n$ dans $v_n = 0.2e^{in}$. c'est plutôt $v_n = 0.2e^{i\theta} + v_{n-1}^{2}$, non?
4) série adéquate c'est un terme maths ou juste pour dire trouver une série qui aide à démontrer? La question peut paraitre bête, mais comme nous n'avons aucun point de repère pour le devoir (le cours débute par les séries et de toute façon TRES différent du devoir), difficile de comprendre l'énoncé.
@Math Coss, un petit exemple chiffré pour partie imaginaire convergente? Je ne vois pas du tout le concept.
Dans le cours nous avons :
\[\forall z \in \mathbb{C}, |z| < 1, \sum_{k=0}^{\infty} z^k = \frac{1}{1-z} \]
Cela peut-il aider?
P.S. je n'ai pas vu les messages de @Chaurien et @lale. Je vais y revenir demain.
Si $(u_n)_n$ est une suite de nombres complexes, $(\mathfrak{Re}(u_n))$ et $(\mathfrak{Im}(u_n))$ sont des suites de nombres réels.
Mais manifestement, tu restes le nez sur ton énoncé au lieu de prendre un peu de distance pour apprendre cette notion de convergence.
Cordialement.
@Crapul, @Poirot, merci à vous aussi
Afin de ne pas vous embêter pour tout et pour rien, pourriez-vous me conseiller un manuel MPSI/MP, analyse qui va loin, qui explique et donne des exemples + quelques exos corrigés ? Nous sommes en début L2. On attend de nous qu'on maîtrise parfaitement le programme de MPSI (de préférence le programme précédent). Et ce semestre c'est :
- séries (numériques, à termes positifs, intégrales, semi-convergentes, produit de [large]C[/large]auchy, séries divergentes),
- séries et suites de fonctions,
- séries de Fourier
[Augustin Louis Cauchy (1789-1857) prend toujours une majuscule. AD]