Dérivabilité fonction continue en 0
Bonjour,
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ , continue en $0$ et telle que $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(2x)-f(x)}{x}$ existe et soit finie. Démontrer que $f$ est dérivable en $0$.
Ce que j'ai fait. Notons $l$ la valeur de $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(2x)-f(x)}{x}$.
On a : $\forall \varepsilon>0 \ \exists \eta >0 \ \forall x \in \R^{*} \ |x| \leq \eta \implies |\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}-l| \leq \varepsilon$
Mais après je ne vois pas...
Merci d'avance.
Soit $f$ une fonction définie sur $\R$ , continue en $0$ et telle que $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(2x)-f(x)}{x}$ existe et soit finie. Démontrer que $f$ est dérivable en $0$.
Ce que j'ai fait. Notons $l$ la valeur de $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(2x)-f(x)}{x}$.
On a : $\forall \varepsilon>0 \ \exists \eta >0 \ \forall x \in \R^{*} \ |x| \leq \eta \implies |\dfrac{f(2x)-f(x)}{x}-l| \leq \varepsilon$
Mais après je ne vois pas...
Merci d'avance.
Réponses
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Tu cherches à montrer que $\frac{f(x)-f(0)}{x}$ admet une limite quand $x$ tend vers $0$.
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remarque que si $ |x| \leq \eta $ alors $ \forall n \in \N | \frac {x}{2^n}| \leq \eta$
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1) Ramène toi au cas $l=0$
2) Itère la relation en considérant des termes du type pour $k\geq 0,$ $\displaystyle \vert f(\frac{x}{2^{k}})-f(\frac{x}{2^{k+1}})\vert$ pour estimer $\vert f(x)-f(0)\vert$. -
Honnêtement ne fais pas les exos 2 étoiles de ton livre pour l'instant c'est pas de ton niveau, ça sera dans un 2e temps...
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oui, écris le avec l'encadrement puis somme télescopique
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Merci !
J'ai écrit :
$\sum_{k=1}^n f(\dfrac{x}{2^{k-1}})-f(\dfrac{x}{2^{k}})=f(x)-f(\dfrac{x}{2^{n}})$
Mais le $\dfrac{l}{2^n}$ me gêne... J'aimerais utiliser l'inégalité triangulaire. -
Tu as perdu la notion d'exo difficile à force de venir ici. Un exo non difficile n'est pas un exo où tu as demandé les réponses au forum et où tu as compris la correction...
Bref j'en reviens à ce que je disais avant. Il vaut mieux viser des exercices de ton niveau parce que pour l'instant les faciles tu ne les maîtrises pas (voir sujets précédents). -
que se passe-t-il quand n tend vers l'infini ? la fonction est continue en 0 ..
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C'est quoi ton livre ?
Sinon, je remarque qu'en deux ans, tu n'a pas l'air d'avoir progressé. Je pense qu'il va falloir que tu te pose sérieusement la question : "pourquoi ça coince ? ". Parce que si tu continues sans changer profondément de façon de faire, dans 10 ans tu posera toujours ce genre d'exercices sur les forums. -
Le compte d'OShine date d'il y a six semaines, pourquoi tout le monde dit qu'il est là depuis 2 ans ?
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Ramanujan sur ilemaths, mehdi_128 sur futura sciences et maths_forum. Il a crée son compte ici après avoir été banni d'ilemaths pour avoir posté le même sujet sur plusieurs forums à la fois, eu des réponses sur un sujet, recopiant ces mêmes réponses sur un autre forum en disant avoir fait ça de lui même et en reposant d'autres questions ensuite
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Tryss
DUNOD TOUT EN UN MPSI 2018
Un livre de MPSI mais les exercices sont difficiles. Toujours des astuces introuvables seul. Je ne comprends pas le niveau MPSI comment on peut réussir à résoudre des exercices sans indication comme ils sont posés dans le livre. -
Autre possibilité, à force de demander de l'aide dès que y a un truc qui te dérange un peu au lieu de prendre le temps de réfléchir, tu as perdu toute capacité de réflexion. Dans tous les cas des dizaines de milliers de personnes se sont servies de ce livre avant toi.
Bref ça sert à rien d'espérer faire les exercices ** quand les exercices les plus "simples" te posent encore autant de soucis. Perso je trouve que l'exercice de départ n'a pas grand intérêt par rapport à certains plus fondamentaux du chapitre. -
Que prépare OShine? Un concours?
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Le Capes.
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Ok Gérard, merci.
Très honnêtement OShine, est-ce un drame de ne pas avoir le Capes? Parce que c’est mal barré, et il n’y a aucune honte à l’admettre. Ou alors, il faut reprendre les choses dans l’ordre, c’est tout(programme lycée à revoir). Pourquoi cette obstination?
Est-ce que ça vaut vraiment le coup? -
Bonjour,
il me semble que si $f$ une fonction définie sur $\R $, continue en 0, alors $f(0)$ existe et $\lim\limits_{x \rightarrow 0}f(x)=f(0).$
On peut remarquer que $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(2x)-f(x)}{x}$ peut s'écrire : $\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{f(2x)-f(x)}{2x-x}.$
La fonction $f$ est dérivable en $x_0$ si $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$ existe. -
Bonjour, au brouillon j’écris : \[\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x}=\lim_{x\rightarrow 0} \frac{f(2x)-f(0)}{2x} =\lim_{x\rightarrow 0} \left ( \frac{f(2x)-f(x)}{2x}+\frac{f(x)-f(0)}{2x}\right ) \]
Avec ça peut-être moyen d’éviter les epsilons et les trucs. -
encore faut il montrer d'abord que la limite existe !
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Je ne vois pas le rapport entre le programme de lycée d'un niveau faible et les exercices de niveau MPSI.
Il y a un exercice juste après sans étoile qui est impossible à trouver seul : je vois la correction et c'est encore une astuce introuvable. Comment penser à poser une telle fonction si on est pas un génie des maths ?
Soit $f : \R^+ \longrightarrow \R$ une fonction continue et dérivable sur $\R^{+*}$ telle que $f(0)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0$. Démontrer qu'il existe un $c \in ]0,+\infty[$ tel que $f'(c)=0$.
Et là encore une astuce parachutée de nulle part.
Posons $g$ l'application définie sur $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ par $g(x)=f(\tan x)$ si $x \in [0,\dfrac{\pi}{2}[$ et $g(0)=\dfrac{\pi}{2}$.
Bref j'ai l'impression que tous les exercices d'analyse c'est la même chose. Je ne trouverai jamais un exercice seul. -
@Lale
J'ai enfin compris.
On arrive à : $| \dfrac{f(x)-f(\dfrac{x}{2^{n+1}})}{x} - \sum_{k=0}^n \dfrac{l}{2^{k+1}}| \leq \varepsilon$
Comme $f$ est continue en $0$ et en faisait tendre $n$ vers $+ \infty$ on trouve que $f(\dfrac{x}{2^{n+1}})$ tend vers $f(0)$.
$\sum_{k=0}^n \dfrac{l}{2^{k+1}}$ tend vers $l$ d'où le résultat. -
"Il y a un exercice juste après sans étoile qui est impossible à trouver seul : je vois la correction et c'est encore une astuce introuvable. Comment penser à poser une telle fonction si on est pas un génie des maths ? "
Tu peux faire autrement tu sais... il n'y a pas une seule solution.
Ici, quand tu lis l'énoncé, tu dois immédiatement te demander "comment je vais me débrouiller pour appliquer le théorème de Rolle ici". C'est sur que si tu ne penses pas à ça, c'est compliqué...
L'auteur passe par cette fonction pour pouvoir appliquer Rolle, mais personnellement, j'aurai fait autrement (en construisant un intervalle [a,b] sur lequel on peut appliquer Rolle) -
Ok merci Tryss, c'est pour cela que je viens sur ce forum pour demander des indications qui me permettraient de construire ma solution tout seul plutôt que de lire des astuces du livre auxquelles je ne penserais jamais.
Je n'aime pas trop la façon dont sont corrigés les exercices. -
OShine,
Maintenant que tu as lu et analysé cet exercice. Peux-tu faire celui-ci:
Soit $\lambda \in \mathbb{R}$ et $f : \R_{-} \longrightarrow \R$ une fonction continue sur $\R_{-}$ et dérivable sur $\R_{-}^*$ telle que $f(0)=\lim\limits_{-\infty} f=\lambda$.Démontrer qu'il existe un réel $c$ strictement négatif tel que $f'(c)=0$. -
Si tu connais le théorème de Darboux (la dérivée d'une fonction dérivable satisfait le TVI) alors on peut résoudre cet exercice sans changement de variables (mais ce type d'idée est "naturel", il me semble...).
-
Bonjour
@Amathoué , la définition que je donne de la dérivée d'une fonction est purement générale, rien à voir avec l'exo. Mais j'arrête, moi ce que je trouve intéressant c'est d'apprendre et d'essayer de comprendre. Me pointer mes erreurs sans essayer de m'expliquer pourquoi cela ne va pas, ce n'est pas constructif. -
@Amathoué
Je n'ai pas encore réussi l'exercice suivant en adoptant une solution différente de mon livre.
Soit $f : \R^+ \longrightarrow \R$ une fonction continue et dérivable sur $\R^{+*}$ telle que $f(0)=\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)=0$.
Démontrer qu'il existe un $c \in ]0,+\infty[$ tel que $f'(c)=0$ -
À défaut d’adopter, peux-tu adapter?
-
@Oshine : toujours le même conseil, fais des dessins !
A quoi ressemble le graphe de ta fonction ?
Ne vois-tu pas sur le dessin que tu peux trouver (si la fonction prend au moins une valeur strictement positive) des réels positifs $a,b$ tels que $f(a)=f(b)$.
Prouve-le en pensant à théorème des valeurs intermédiaires, définition d'une limite nulle en $+\infty$.
Et enfin applique le théorème de Rolle. -
Merci Rakam oui sur un dessin ça a l'air évident.
Mais la fonction peut aussi ne prendre que des valeurs strictement négatives.
On a : $\forall \varepsilon>0 ,\ \exists N \in \R^+ ,\ \forall x \geq N ,\ |f(x)| \leq \varepsilon$ et $f(0)=0$.
Je ne vois pas comment trouver 2 réels positifs $a,b$ tels que $f(a)=f(b)$. -
Là je te retrouve dans le refus de réfléchir !
Une fonction nulle en $0$ qui ne prend que des valeurs strictement négatives ?
Tu ne peux pas penser à prendre $-f$ qui aura des valeurs strictement positives !
Et ton prochain message sera : et si la fonction est nulle, comment je fais ! -
Si $f$ est la fonction nulle, alors $\exists (a,b) \in \R^{+2} \ f(a)=f(b)$.
Si $f$ n'est pas la fonction nulle, alors $\exists x \in \R^{+} \ f(x) \ne 0$ donc $\exists x \in \R^{+} \ | f(x) | >0$
Pour $y$ assez grand, on a $f(0) \leq | f(y) | \leq | f(x) |$
Et là je bloque. $f$ est continue en $0$ ? -
De plus en plus étonnant !
Pour une fonction nulle, la dérivée est partout nulle ! Trouver un réel $c$ où elle est nulle ne me semble pas bien difficile!
Cas où la fonction n'est pas nulle :
Soit $x_0$ tel que $f(x_0)>0$ (tu adapteras au cas $<0$). Nécessairement $x_0>0$.
Il existe $x_1>x_0$ tel que $x\geq x_1\implies f(x)<\dfrac{f(x_0)}2$ (limite nulle en $+\infty$).
Entre $0,\;x_0$ il existe $a$ tel que $f(a)=\dfrac{f(x_0)}2$ (continuité de $f$).
Entre $x_0,\;x_1$ il existe $b$ tel que $f(b)=\dfrac{f(x_0)}2$ (continuité de $f$).
Tu les as tes $a,b$ et ils sont distincts puisque séparés par $x_0$ : il suffisait de suivre le dessin ! -
Je n'ai pas compris comment vous trouvez les résultats suivants :
Entre $0,\;x_0$ il existe $a$ tel que $f(a)=\dfrac{f(x_0)}2$ (continuité de $f$).
Entre $x_0,\;x_1$ il existe $b$ tel que $f(b)=\dfrac{f(x_0)}2$ (continuité de $f$).
Quand j'applique le théorème des valeurs intermédiaires, je pars d'une inégalité encadrant $f(x)$ mais je ne vois pas quelles inégalités on a ici :-(
Je n'ai pas compris non plus pourquoi vous prenez $\dfrac{f(x_0)}2$ -
Fais un petit dessin, tu comprendras facilement. C'est justement des valeurs intermédiaires, que tu aurais pu trouver facilement seul avec le dessin et deux sous de jugeote.
Juste une remarque : la moitié de $f(x_0)$ est entre 0 et $f(x_0)$ comme le comprend tout élève de lycée. -
Ok merci Gerard j'ai compris !
-
supp
-
Merci mais je pense que ceci est plutôt au programme de de deuxième année.
En MPSI, on ne voit pas les compacts, et le prolongement par continuité est limité à dans $\R$.
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