Solution d'une edp
Réponses
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Bonjour,
Fais les calculs sans te planter. -
Peut-on, partant de l'edp en question, remonter à la solution donnée ? Ca ne me semble pas une edp classique à résoudre, non ?
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Bonjour,
De tête c’est possible mais c’est plus facile avec un papier et un stylo. -
J'ai la fonction suivante: soit $\nu > 0$
\begin{align*}
u(x,t)&= -4 \nu \dfrac{1+x-1/2 \exp(-t)}{ (1+x-1/2 \exp(-t))^2- \nu }+x+1, &\text{qui vérifie}\\
u(x,t=0)&= -4 \nu \dfrac{ 1/2+x } { (1/2 +x)^2-\nu }+x+1\\
u(0,t)&= -4 \nu \dfrac{ 1-1/2 \exp(-t) } { ( 1-1/2 \exp(-t) ) ^2 - \nu }+1&\text{et} \\
u(1,t)&= -4 \nu \dfrac{ 2-1/2 \exp(-t) }{ (2-1/2 \exp(-t))^2 -\nu }+2
\end{align*} Ma question est : comment trouver les valeurs de $\nu$ pour lesquelles $u(x,t), u(x,0), u(0,t)$ et $u(1,t)$ sont bien définies ?
Merci par avance. -
Que veut dire " bien définies" ? ces fonctions sont définies sur leur domaine de définition.
Cordialement. -
Bonjour,
Il faut que le dénominateur ne s’annule pas. Regarde à $t=0$ puis pour tout $t.$ -
Bonjour reuns
votre logiciel m’intéresse beaucoup. Je ne le connais pas.
Pour $\nu=1$ la fonction $u$ n'est pas bien définie. Pouvez-vous je vous prie essayer avec la valeur $\nu=\dfrac{1}{6}$ ?
Aussi, si on essaye avec la fonction $u$ donnée par : $$
u(x,t)= -4 \nu \dfrac{1+x+1/2 e^t}{(1+x+1/2 e^t)^2 + \nu} - (x+1+e^t).
$$ est-ce que cette fonction-ci vérifie bien l'edp du premier post ? S'il vous plaît.
Merci par avance. -
Est-ce que quelqu'un sait utiliser le logiciel de reuns pour voir que la fonction $u$ donnée par : $$
u(x,t)= -4 \nu \dfrac{1+x+1/2 e^t}{(1+x+1/2 e^t)^2 + \nu} - (x+1+e^t).
$$ est bien solution de l'edp de mon premier post ?
Merci d'avance. -
Bonjour
je trouve que la fonction $u$ donnée par
$$
u(x,t)= -4 \nu \dfrac{1+x+1/2 e^t}{(1+x+1/2 e^t)^2 + \nu} - (x+1+e^t).
$$
est bien une solution de mon edp du premier post. Je souhaiterai le confirmer avec le logiciel de renus. Est-ce que renus ou un autre membre pourrait m'aider?
Merci par avance. -
Bonjour
on pose
\begin{align*}
I&=
\dfrac{1}{2} e^t \dfrac{ (x+ 1 - 1/2 e^t)^2}{[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2}
- \dfrac{\nu}{2} \dfrac{e^{2t}}{ [ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2 }+e^t
- 16 \nu^2 \dfrac{ (x+ 1 - 1/2 e^t)^3 }{ [ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^3 } \\
&\qquad +16 \nu^3 \dfrac{ x+1 -1/2 e^t} { [ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^3 }
+ 4 \nu \dfrac{ (x+1-1/2 e^t)}{[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^3 }
- 4 \nu \dfrac{(x-e^t +1) (x+1-1/2 e^t)^2}{[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2} \\
&\qquad +4 \nu^2 \dfrac{1} {[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2} + x -e^t +1
+8 \nu^2 \dfrac{x+1-1/2 e^t} {[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2}.
\end{align*} J'essaie de montrer que $I=x+1$, mais je n'arrive pas à trouver cette égalité. Quelqu'un peut m'aider à le montrer ? Svp.
Merci d'avance.
[Restons dans la discussion que tu as ouverte sur ton problème. AD] -
Y a trop de monde. Fais confiance à un logiciel de calcul formel.
-
Amathoué je n'ai pas un tel logiciel. Peux-tu m'aider?
-
Bonjour,
C’est faux.
Démonstration : $\nu \to 0$ -
YvesM,
Et si $x=$ $\text{ l’expression monstrueuse}-1$?
Tu connais tout ce monde toi? -
Bonjour,
Ton hypothèse sur $x$ n’est jamais vérifiée. Pour tout $t$ réel, et pour tout $x$ réel on a $I(x,t,\nu=0)\neq x+1.$
Soit l’expression de $I$ est fausse (vraisemblable) soit erreur typographique. -
Tu ne m’as pas compris. Pourquoi $\nu$, $x$ et $t$ seraient des variables???
Encore une fois, on n’en sait rien!
On peut tout autant supposer que ce sont des réels fixés. Est-ce que remplacer ou faire tendre $\nu$ vers $0$ a un sens? -
Ah ok, excuse-moi.
-
Bonjour
. En faisant les calculs je trouve que le terme de gauche de l'edp est identique à $I$ de mon premier post. Je refais les calculs depuis des semaines.
Merci de m'aider svp -
Personne ? Et le logiciel de calcul formel ne marche pas dans ce cas ?
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Si ! J'avais essayé hier soir et j'avais sans doute fait une faute de frappe, aujourd'hui tout va bien.
sage: var('x t nu') (x, t, nu) sage: u0 = x+1-exp(t)/2 sage: u = -4*nu*u0/(u0^2+nu) -x +exp(t) -1 sage: v = diff(u,t) +u*diff(u,x) -nu*diff(diff(u,x),x) -x-1 sage: v -(8*nu*(2*x - e^t + 2)/((2*x - e^t + 2)^2 + 4*nu) + x - e^t + 1)*(32*nu*(2*x - e^t + 2)^2/((2*x - e^t + 2)^2 + 4*nu)^2 - 16*nu/((2*x - e^t + 2)^2 + 4*nu) - 1) + 64*nu*(4*nu*(2*x - e^t + 2)^3/((2*x - e^t + 2)^2 + 4*nu)^3 - 3*nu*(2*x - e^t + 2)/((2*x - e^t + 2)^2 + 4*nu)^2) - 16*nu*(2*x - e^t + 2)^2*e^t/((2*x - e^t + 2)^2 + 4*nu)^2 - x + 8*nu*e^t/((2*x - e^t + 2)^2 + 4*nu) + e^t - 1 sage: v.numerator() 0Cette simplification me semble tout à fait miraculeuse ! -
Bonjour Math Coss
ça veut dire que ma solution $u$ est bonne? svp -
Je pense qu'il y a une erreur car je me suis trompée dans un terme de la formule simplifié. En fait c'est:
\begin{align*}
I&=
\dfrac{1}{2} e^t \dfrac{ (x+ 1 - 1/2 e^t)^2}{[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2}
- \dfrac{\nu}{2} \dfrac{e^{2t}}{ [ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2 }+e^t
- 16 \nu^2 \dfrac{ (x+ 1 - 1/2 e^t)^3 }{ [ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^3 } \\
&\qquad +16 \nu^3 \dfrac{ x+1 -1/2 e^t} { [ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^3 }
+ 4 \nu \dfrac{ (x+1-1/2 e^t)}{[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu] }
- 4 \nu \dfrac{(x-e^t +1) (x+1-1/2 e^t)^2}{[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2} \\
&\qquad +4 \nu^2 \dfrac{1} {[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2} + x -e^t +1
+8 \nu^2 \dfrac{x+1-1/2 e^t} {[ ( x+ 1 - 1/2 e^t)^2 + \nu]^2}.
\end{align*}
pouvez vous voir svp si c'est bon avec sage? Je ne sais pas utiliser sage et je veux savoir vite su mon calcul de $u$ est bon car j'y ai passé des semaines.
Merci d'avance. -
Ça, c'est suspect. De qui vient l'erreur ?
sage: I = 1/2* exp(t) * (x+ 1 - 1/2* exp(t))^2/( (x+ 1 - 1/2 *exp(t))^2 + nu)^2- ....: nu/2 *exp(2*t)/ ( (x+ 1 - 1/2 *exp(t))^2 + nu)^2 +exp(t)- 16* nu^2 *( (x+ ....: 1 - 1/2* exp(t))^3 )/( ( ( x+ 1 - 1/2 *exp(t))^2 + nu)^3 ) +16* nu^3 *( ....: x+1 -1/2 *exp(t))/( ( ( x+ 1 - 1/2 *exp(t))^2 + nu)^3 ) + 4 *nu *( (x+1-1 ....: /2 *exp(t)))/(( ( x+ 1 - 1/2 *exp(t))^2 + nu) )- 4* nu *((x-exp(t) +1)* (x ....: +1-1/2*exp(t))^2)/(( ( x+ 1 - 1/2 *exp(t))^2 + nu)^2) +4* nu^2 *1/(( ( x+ ....: 1 - 1/2 *exp(t))^2 + nu)^2) + x -exp(t) +1 +8* nu^2 *(x+1-1/2 *exp(t))/(( ....: ( x+ 1 - 1/2 *exp(t))^2 + nu)^2) sage: I.numerator() 64*x^7 - 192*x^6*e^t + 192*nu*x^5 + 448*x^6 + 240*x^5*e^(2*t) - 256*nu*x^4*e^t - 1152*x^5*e^t - 64*nu^2*x^3 + 960*nu*x^4 + 1344*x^5 - 160*x^4*e^(3*t) + 32*nu*x^3*e^(2*t) + 1200*x^4*e^(2*t) + 320*nu^2*x^2*e^t - 1024*nu*x^3*e^t - 2848*x^4*e^t + 1856*nu^3*x + 64*nu^2*x^2 + 1920*nu*x^3 + 2240*x^4 + 60*x^3*e^(4*t) + 96*nu*x^2*e^(3*t) - 640*x^3*e^(3*t) - 272*nu^2*x*e^(2*t) + 64*nu*x^2*e^(2*t) + 2336*x^3*e^(2*t) - 896*nu^3*e^t + 384*nu^2*x*e^t - 1504*nu*x^2*e^t - 3712*x^3*e^t + 2112*nu^3 + 320*nu^2*x + 1920*nu*x^2 + 2240*x^3 - 12*x^2*e^(5*t) - 52*nu*x*e^(4*t) + 180*x^2*e^(4*t) + 64*nu^2*e^(3*t) + 224*nu*x*e^(3*t) - 912*x^2*e^(3*t) - 240*nu^2*e^(2*t) + 2208*x^2*e^(2*t) + 64*nu^2*e^t - 960*nu*x*e^t - 2688*x^2*e^t + 192*nu^2 + 960*nu*x + 1344*x^2 + x*e^(6*t) + 8*nu*e^(5*t) - 24*x*e^(5*t) - 60*nu*e^(4*t) + 164*x*e^(4*t) + 136*nu*e^(3*t) - 544*x*e^(3*t) - 32*nu*e^(2*t) + 1008*x*e^(2*t) - 224*nu*e^t - 1024*x*e^t + 192*nu + 448*x + e^(6*t) - 10*e^(5*t) + 44*e^(4*t) - 112*e^(3*t) + 176*e^(2*t) - 160*e^t + 64 sage: I.denominator() (4*x^2 - 4*x*e^t + 4*nu + 8*x + e^(2*t) - 4*e^t + 4)^3
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Je veux bien comprendre stp. Dans sage tu fais rentrer l'edp et la fonction $u$ et ça te dit si $u$ vérifie bien l'edp ou non ? Pardon pour cette question bête. Dans ce cas sage te dit que $u$ est bien solution ? Donc tu n'as pas utilisé l'expression de $u$ que je t'ai donnée.
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