Limite

OShine · October 2019

Bonjour,

Soit $a \in I$ et $f: I \longrightarrow \R$ dérivable en $a$.

On note $\varphi(x)=f(a)+f'(a)(x-a)$ et $g(x)=\mu+\lambda(x-a)$ avec $(\lambda,\mu) \in \R^2$.

Montrer que si $(\lambda,\mu) \ne (f'(a),f(a))$ alors $\exists \eta >0 \ \forall x \in I \ 0 <|x-a| \leq \eta \implies |f(x)-g(x)| > |f(x)-\varphi(x)|$
On pourra considérer les cas $\mu \ne f(a)$ et $\lambda \ne f'(a)$ et $\mu=f(a)$.

Je n'ai pas compris pourquoi distinguer ces 2 cas. Quand on a $(a,b) \ne (c,d)$ cela veut dire que $a \ne c$ ou $b \ne d$ non ?

Pourquoi ce "et $\mu=f(a)$ ?

Titi le curieux · October 2019

Bonjour,
Lorsque $\mu\neq f(a)$, tu n'as pas besoin de faire intervenir la dérivabilité, le fait que $g(a)\neq f(a)$ alors que $\phi (a)= f(a)$ et la continuité en $a$ des fonctions $f-g$ et $f-\phi$ suffisent. En revanche, tu as besoin de faire appel à la dérivabilité de $f$ en $a$ lorsque $\mu=f(a)$, d'où le choix de l'approche par disjonction des cas.

lourrran · October 2019

OShine a écrit:

On pourra considérer les cas
1 : $\mu \ne f(a)$ et
2 : $\lambda \ne f'(a)$ et $\mu=f(a)$

J'ai réécrit, en mettant en forme de façon un peu plus lisible. Peut-être que ce sera plus clair pour toi.

Et du coup, on nous dit :
On pourra considérer les cas :
1 : les 2 droites ne se coupent pas au point critique, et sont éventuellement parallèles.
2 : les 2 droites se coupent au point critique, mais ne sont pas parallèles.

Parce que, tu l'auras peut-être remarqué, cet exercice nous parle de 2 droites.

OShine · October 2019

Merci je n'avais pas remarqué qu'on parlait de droite j'ai la tête dans le guidon

Du coup le point critique c'est le point de coordonnée $C=(a,f(a))=(a,\mu)$ ?

Titi le curieux · October 2019

Hum...
Le coup de la droite "tangente à la courbe", c'est une "explication géométrique" qu'on donne lors du premier contact avec la notion de dérivée. Je ne vois pas en quoi ça permet de donner la démonstration demandé à cet exercice qui est plutôt de niveau sup.

OShine · October 2019

Dans les 2 cas on montre sans trop de difficulté que :

$\lim\limits_{x \rightarrow a} |f(x)-g(x)| - |f(x)-\varphi(x)| >0$ donc que au voisinage de $a$ on a $ |f(x)-g(x)| - |f(x)-\varphi(x)| >0$

Titi le curieux · October 2019

"Sans trop de difficulté" :-D. Ça fait quelques semaines que tu poses des questions sur ce forum et principalement sur des trucs qu'un élève de sup doit savoir résoudre sans trop de difficultés. Alors, excuse-moi, mais je n'ai aucune confiance quand tu dis ce genre de chose. Tu peux nous la refaire avec des formules, par exemple dans le cas où $\mu=f(a)$ avec un truc du genre "je précise un $\varepsilon$ qui passe bien" avant d'utiliser une formule de type: $\exists \alpha, \ |x-a|\leq \alpha \rightarrow |f(x)-(f(a)+(x-a)f'(a)|\leq \varepsilon |x-a|$.

OShine · October 2019

On peut raisonner directement sur les limites sans passer par les epsilons.

Pour $\mu=f(a)$ et $\lambda \ne f'(a)$

$|\dfrac{f(x)-g(x)}{x-a}|=|\dfrac{f(a)-f(a) - \lambda(x-a)}{x-a}| \longrightarrow |f'(a)-\lambda|$ car $f$ dérivable en $a$.

Et $|\dfrac{f(x)-\varphi(x)}{x-a}|=|\dfrac{f(x)-f(a)-f'(a)(x-a)}{x-a}| \longrightarrow 0$

D'où le résultat.

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