Égalité des accroissements finis
Bonsoir,
Soient $f$ et $g$ 2 fonctions continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$. Démontrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que :
$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)$
J'ai écrit d'après l'égalité des accroissements finis :
$\exists c \in\, ]a,b[ ,\ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ et $\exists d \in\, ]a,b[, \ g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)$
Mais ensuite je ne vois pas comment faire...
Soient $f$ et $g$ 2 fonctions continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$. Démontrer qu'il existe $c \in ]a,b[$ tel que :
$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c)$
J'ai écrit d'après l'égalité des accroissements finis :
$\exists c \in\, ]a,b[ ,\ f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)$ et $\exists d \in\, ]a,b[, \ g(b)-g(a)=g'(c)(b-a)$
Mais ensuite je ne vois pas comment faire...
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Réponses
Je me dis qu'on aura : $h'(x)=(g(b)-g(a))f'(x)+(f(b)-f(a))g'(x)$ mais je n'arrive pas à trouver $h$ telle que $h(a)=h(b)$ ...
En voyant ça, la première chose à laquelle on pense est la fonction $h$ définie ainsi: $\forall x\in [a,b]: \ h(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x)$.
Cet exercice n'a rien de piégeux. Vérifie que $h(a)=h(b)$ et c'est fini. Et manipule un peu avant de poser des questions, là, ça devient ennuyeux.
C'est encore mon livre qui m'a embrouillé en donnant directement la fonction qui convient à poser :
$\varphi(x)=(g(b)-g(a))(f(x)-f(a))-(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))$
Ce qui donne $\varphi(a)=\varphi(b)=0$ alors qu'on n'avait pas besoin de la condition $=0$ ici ...
Et tu oses mettre le smiley "mec qui se la pète parce qu'il se pense super malin"! Tu es conscient que tu as de la chance de ne pas être physiquement présent quand on lit ça?
Il suffisait d'avoir $\varphi(a)=\varphi(b)$
Gerard, je trouve que les auteurs de ce livre manquent de pédagogie, les solutions sont données sans expliquer comment les obtenir.
Tant que tu demanderas aux autres après avoir réfléchi un quart de seconde, tu continueras à perdre ton temps. Tu ne fais pas des maths (tu ne construis rien de toi-même).
Puis j'ai intégré ce qui donne $h(x)=(g(b)-g(a))f(x)+(f(b)-f(a))g(x)+K$
J'ai fait des lignes de calculs sur feuille mais je n'ai pas trouvé comment choisir $K$ pour avoir $h(a)=h(b)=0$
ici $h(x)=(f(x)-f(a)) \lambda +(g(x)-g(a)) \mu$
pour tout $(\lambda ,\mu)$ $ h(a)=0$ ensuite on cherche $(\lambda ,\mu)$ pour que $h(b)=0$
en faisant cela tu retrouveras la fonction du corrigé .
On est parti de : $h(x)=(g(b)-g(a))f(x)+(f(b)-f(a))g(x)+K$
Comment trouver la constante $K$ pour avoir $h(a)=h(b)=0$ ?
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]
Ça donne une équation à 2 inconnues comment est-ce possible de la résoudre ?
Comme je fais avec mes cinquièmes:
Complète pour trouver le même produit:
$3\times...$
$7\times...$
L'astuce principale étant de faire apparaitre de $f(x)-f(a)$ et le $g(x)-g(a)$ pour annuler $h(a)$ puis pour annuler $h(b)$ on bricole.
Pourrait-on prendre comme fonction qui respecte le théorème de Rolle $h(x)=f(x) + \lambda g(x) $, avec $\lambda$ qui permet d'avoir $h(a)=h(b)$.
$h(x)$ est continue sur $[a,b]$ comme somme de fonctions continues sur $[a,b]$, $h(x)$ est dérivable car somme de fonctions dérivables sur $]a,b[$ et $h(a)=h(b)$
donc il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $h'(c) = f'(c) +\lambda g'(c)$.
Avec cette fonction en faisant les calculs je trouve le résultat
(si ce que je propose n'est pas une astuce non recevable).
j'ai oublié de dire que il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $h'(c) =0$.
Mais il n'y a aucune astuce, c'est juste toi qui as fait une étourderie (de signe) :
Tu devais poser $h: x \mapsto h(x)=(g(b)-g(a))f(x) - (f(b)-f(a))g(x) + K$ (et pas $\bigoplus$).
Et là tu calcules $K$ pour que $h(a)=h(b)=0$.
$h(a)=0$ donne $g(b)f(a)-f(b)g(a)+K=0$ et $h(b)=0$ donne $-g(a)f(b)+f(a)g(b)+K=0$
D'où $K=g(a)f(b)-g(b)f(a)$ et ça marche très bien.