Lemme de Liouville

Bonjour
En analyse complexe on a le célèbre lemme de Liouville. Toute fonction entière bornée est constante.

Il y a quelque chose que je ne dois pas saisir à propos de ce lemme car en l'utilisant j'arrive à montrer un résultat complètement faux.

En effet, si $f$ est entière et $f = O(\exp)$ quand $|z| \to +\infty$ alors $f/\exp = O(1)$ et $f/\exp$ est constante par Liouville, pourtant toute fonction polynomiale vérifie $P = O(\exp)$ et on n'a clairement pas : pour toute fonction polynomiale, $P/\exp$ est constante.

Où est l'erreur ?