Dérivabilité

Bonsoir,

Je précise que j'ai réussi cet exercice en utilisant une méthode différente de celle de la correction de mon livre. Je vous mets donc ma méthode personnelle et celle du livre. Ma méthode est-elle juste ?

Soit $f$ une fonction dérivable sur $[a,b]$ telle que $f(a)=f(b)=0$ et $f'(a)=0$. Démontrer qu'il existe un $c \in ]a,b[$ tel que $f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}$.

Ma méthode :
En traçant un graphe, je me suis intéressé à la corde $(AC)$. On voit qu'aux points $A$ et $C$ la distance entre la corde et la courbe est nulle. J'ai donc posé : $g : t \mapsto f(t)- \left( \dfrac{f(c)-f(a)}{c-a} (t-a) \right)$
On a $g(a)=g(c)=0$ avec $g$ continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $[a,b]$.
Il existe donc $\alpha \in ]a,b[$ tel que $g'(\alpha)=0$
Ce qui donne le résultat voulu.

Une chose me perturbe : je n'ai pas utilisé la condition $f'(a)=0$ est-ce normal ?

Méthode du livre :
Posons : $\varphi : \begin{cases}
\varphi(x)=\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} \ \text{si} \ x \ne a\\ \varphi(a)=0
\end{cases}$
est continue sur $[a,b]$ et dérivable sur $]a,b[$ avec $\varphi(a)=\varphi(b)=0$ il existe donc $c \in ]a,b[$ tel que $\varphi'(c)=0$.

$\varphi'(c)=0 \Longleftrightarrow f'(c)=\dfrac{f(c)-f(a)}{c-a}$

L'auteur n'utilise pas non plus la condition $f'(a)=0$ est-ce normal ?