Suites et séries
Bonjour, je fais mes études par correspondance et je bloque sur une question d'un devoir à rendre.
Je ne comprends pas comment écrire en latex sur ce forum donc je joins le sujet du devoir.
Il s'agit de la deuxième question du deuxième exercice. Je pense que l'on doit se servir de la réponse à la première question (à laquelle j'ai trouvé x>=1/4) mais j'ai besoin d'un coup de pouce car je ne vois pas comment m'en sortir...
J'espère que quelqu'un pourra m'aider!
Merci
Je ne comprends pas comment écrire en latex sur ce forum donc je joins le sujet du devoir.
Il s'agit de la deuxième question du deuxième exercice. Je pense que l'on doit se servir de la réponse à la première question (à laquelle j'ai trouvé x>=1/4) mais j'ai besoin d'un coup de pouce car je ne vois pas comment m'en sortir...
J'espère que quelqu'un pourra m'aider!
Merci
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Dans le cas présent, mieux vaut essayer de suivre les intentions de l'énoncé même si parfois elles nous semblent énigmat(h)iques.
La question 1 conduit à : $\displaystyle \frac{u_{n}}{u_{n-1}}\leq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}}$, et par produit on en déduit une majoration de $u_n$ qui permet de conclure à la convergence de la série de terme général $u_n$.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
et cela permet de majorer par une série de Riemann.
Énoncé assez rusé.
Bonne soirée.
Fr. Ch.
On a Un+1/Un est inférieur à R(n+2)/(1+R(n))
On a un developpent limité R(n+2)/(1+R(n)) =1-1/R(n)+o(1/R(n))
On pose Vn=1/n*2
Vn+1/Vn=1+o(1/R(n))
On déduit que à partire d'un certain rang
Un+1/Un =< Vn+1/Vn
Et on a la serie de Rimann de terme générale Vn=1/n*2 converge
Donc d'aprés un théorème de cours ( comparaison logarithmique)
la série de terme générale Un converge
$\displaystyle \frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}}\cdot \frac{\sqrt{n+3}}{1+\sqrt{n+1}}\leq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}}$.
J'aime bien cet énoncé malin.
Il est demandé de prouver la convergence de la suite $(v_n)$ à l'aide d'une série adéquate.
J'ai essayé d'utiliser la série télescopique $\sum v_{n+1}-v_n$ et de prouver sa convergence mais je bloque.
Quelqu'un aurait-il une idée à proposer ?
Merci
Nous avons eu nos résultats pour ce devoir et la correction. Le problème est que... je ne comprends pas la correction.
Il s'agit de l'exercice 2.3. On pose $v_n = u_n \sqrt{n+1}$ et on demande de calculer la somme de la série $u_n$. Dans la correction : Je ne comprends pas ce qui est en rouge. Comment on est arrivé à ce résultat ? Et pourquoi on somme d'abord sur $\mathbb{N}$ puis sur $[0 ;n]$ ?
Merci.
Je ne comprenais pas d'où venait le $u_0$ supplémentaire... Il aurait dû écrire : \[
\sum_{1\leq p \leq n} u_n = \sum_{1\leq p \leq n} (v_{n-1} - v_n ) = v_0 - v_n = 0.5 - u_{n} \sqrt{n+1}
\] Et comme $U = u_0 + \sum_{1\leq p \leq n} (u_n )$. $U$ converge vers $1$.