Suites et séries

eduupmc
eduupmc
dans Analyse
Bonjour, je fais mes études par correspondance et je bloque sur une question d'un devoir à rendre.

Je ne comprends pas comment écrire en latex sur ce forum donc je joins le sujet du devoir.

Il s'agit de la deuxième question du deuxième exercice. Je pense que l'on doit se servir de la réponse à la première question (à laquelle j'ai trouvé x>=1/4) mais j'ai besoin d'un coup de pouce car je ne vois pas comment m'en sortir...

J'espère que quelqu'un pourra m'aider!

Merci

Réponses

  • marsup
    marsup
    Tu connais la règle de Raabe-Duhamel ?
  • eduupmc
    eduupmc
    Non, ce n'est pas dans mon cours mais je vois que cela se rapproche du critère de d'Alembert!
  • marsup
    marsup
    Oui, mais si c'est pas dans ton cours, ça doit pas être ça, parce que c'est quand même plus compliqué !
  • Chaurien
    Chaurien
    Je ne crois pas qu'il soit opportun d'inciter les élèves à apprendre par cœur une myriade de règles de convergence des séries, hors programme. Ils ont déjà assez à faire pour apprendre les notions du programme !
    Dans le cas présent, mieux vaut essayer de suivre les intentions de l'énoncé même si parfois elles nous semblent énigmat(h)iques.
    La question 1 conduit à : $\displaystyle \frac{u_{n}}{u_{n-1}}\leq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}}$, et par produit on en déduit une majoration de $u_n$ qui permet de conclure à la convergence de la série de terme général $u_n$.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • marsup
    marsup
    Ah oui, ok, j'avais bien obtenu $\frac{u_{n+1}}{u_n} \le \sqrt{\frac{n+1}{n+4}}$ mais je n'avais pas pensé à écrire le produit télescopique.
  • lale
    lale
    Pour utiliser le 1) on peut écrire $u_n =2 \prod\limits _1 ^ {n-2} \frac { \sqrt{ k+2} }{1+ \sqrt{k}} \times \frac {1}{(1+ \sqrt{n-1 })(1+ \sqrt{n})(1+ \sqrt{n+1}) }$
    et cela permet de majorer par une série de Riemann.
  • eduupmc
    eduupmc
    Merci beaucoup pour vos réponses! Ca m'a beaucoup aidé!
  • Chaurien
    Chaurien
    Pour la question 3, l'égalité $\displaystyle \frac{u_{n}}{u_{n-1}}= \frac{\sqrt{n}}{1+ \sqrt{n+1}}$ conduit à une égalité télescopique concernant la suite $ \displaystyle v_n = u_{n} \sqrt{n+1}$.
    Énoncé assez rusé.
    Bonne soirée.
    Fr. Ch.
  • side
    side
    supp
  • eduupmc
    eduupmc
    Chaurien je ne vois pas d'où sort votre résultat conduiit par la question 1... A part cela, pour le reste j'ai compris! Merci beaucoup
  • makhlouf
    makhlouf
    Bonsoir On pose R(n)=racine de n
    On a Un+1/Un est inférieur à R(n+2)/(1+R(n))
    On a un developpent limité R(n+2)/(1+R(n)) =1-1/R(n)+o(1/R(n))

    On pose Vn=1/n*2
    Vn+1/Vn=1+o(1/R(n))


    On déduit que à partire d'un certain rang

    Un+1/Un =< Vn+1/Vn
    Et on a la serie de Rimann de terme générale Vn=1/n*2 converge
    Donc d'aprés un théorème de cours ( comparaison logarithmique)
    la série de terme générale Un converge
  • Chaurien
    Chaurien
    @ eduupmc
    $\displaystyle \frac{u_{n}}{u_{n-1}}=\frac{\sqrt{n}}{1+\sqrt{n+1}}=\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}}\cdot \frac{\sqrt{n+3}}{1+\sqrt{n+1}}\leq \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+3}}$.
    J'aime bien cet énoncé malin.
  • totem
    totem
    Peut-on régler la dernière question du dernier exercice à grands coups de théorème de convergence dominée ?
  • celine_L
    celine_L
    Je reviens sur l'exercice 1 deuxième question.
    Il est demandé de prouver la convergence de la suite $(v_n)$ à l'aide d'une série adéquate.
    J'ai essayé d'utiliser la série télescopique $\sum v_{n+1}-v_n$ et de prouver sa convergence mais je bloque.
    Quelqu'un aurait-il une idée à proposer ?
    Merci
  • lale
    lale
    $v_{n+1}-v_n$ se simplifie et fait intervenir $u_n$ et il est facile de trouver la limite de $v_n$
  • celine_L
    celine_L
    $v_{n+1}-v_n=(v_n-\frac{1}{2})^2+A-\frac{1}{4}$
  • lale
    lale
    la question est dans l'ex 2 pas le 1 ...
  • celine_L
    celine_L
    Non, je m'intéresse bien à l'exercice 1 du poly, même si le fil était consacré à l'exercice 2.
  • lale
    lale
    Excuse moi ,j'ai mal lu … lis donc le fil (suite récurrente et séries) qui est consacré à l'ex 1 ,tu y trouveras ce que tu cherches
  • celine_L
    celine_L
    Merci, je vais aller voir ça.
  • vorobichek
    vorobichek
    Rebonjour
    Nous avons eu nos résultats pour ce devoir et la correction. Le problème est que... je ne comprends pas la correction.

    Il s'agit de l'exercice 2.3. On pose $v_n = u_n \sqrt{n+1}$ et on demande de calculer la somme de la série $u_n$. Dans la correction :
    Soit $U=\sum_{n \in \mathbb{N}} u_n$. Pour tout $n \in \mathbb{N}^{\ast}$, $u_n (1+\sqrt{n+1}) = u_{n-1} \sqrt{n}$ et donc : \[
    u_n = u_{n-1} \sqrt{n} -u_n \sqrt{n+1} = v_{n-1} - v_n
    \] ce qui livre
    \[ {\color{red}{\sum_{0\leq p \leq n} u_n = u_0 + v_0 - v_n = u_0 + u_0\sqrt{1} - u_n\sqrt{n+1}}}\]
    Comme $(u_n \sqrt{n+1} )$ converge vers $0$ d'après le 2.2 pour tout $n \in \mathbb{N}$, on en déduit que $U=1$.
    Je ne comprends pas ce qui est en rouge. Comment on est arrivé à ce résultat ? Et pourquoi on somme d'abord sur $\mathbb{N}$ puis sur $[0 ;n]$ ?

    Merci.
  • Poirot
    Poirot
    Ne vois-tu pas qu'en sommant les $v_{n-1} - v_n$ tu fais une somme télescopique ?
  • vorobichek
    vorobichek
    @Poirot, en rédigeant le message "je ne comprends pas" j'ai compris. :-D Merci pour brainstorming.

    Je ne comprenais pas d'où venait le $u_0$ supplémentaire... Il aurait dû écrire : \[
    \sum_{1\leq p \leq n} u_n = \sum_{1\leq p \leq n} (v_{n-1} - v_n ) = v_0 - v_n = 0.5 - u_{n} \sqrt{n+1}
    \] Et comme $U = u_0 + \sum_{1\leq p \leq n} (u_n )$. $U$ converge vers $1$.
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