Lemme de Stein
dans Analyse
Bonjour,
je précise d'abord que la question est plus une question d'analyse que de probabilités pure.
Ensuite je n'arrive pas à faire la question 2) et même la 3.
J'ai tout essayé : distinguer les cas z<x et x>z pour faire sortir la fonction caractéristique, des changements de variables, utiliser les propriétés de la fonction de répartition du loi normale standard du genre phi(-x)=1-phi(x). Pourtant cela ne m'avance à rien je suis complètement perdu.
Merci d'avance pour votre aide.
je précise d'abord que la question est plus une question d'analyse que de probabilités pure.
Ensuite je n'arrive pas à faire la question 2) et même la 3.
J'ai tout essayé : distinguer les cas z<x et x>z pour faire sortir la fonction caractéristique, des changements de variables, utiliser les propriétés de la fonction de répartition du loi normale standard du genre phi(-x)=1-phi(x). Pourtant cela ne m'avance à rien je suis complètement perdu.
Merci d'avance pour votre aide.
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Réponses
$
\displaystyle
f'_z(x) =
1_{x\le z} - P(N\le z)
+ x e^\frac{x^2}{2} \cdot
\int_{-\infty}^x
(1_{t\le z} - P(N\le z)) \cdot e^{-\frac{t^2}{2}} dt
$.
Or $
|1_{x\le z} - P(N\le z)| \le 1
$
et $
\displaystyle
0 \le
\left |x e^\frac{x^2}{2} \cdot
\int_{-\infty}^x
e^{-\frac{t^2}{2}} dt
\right|
\le 1
$ pour $x\le0$.
(exercice classique obtenu en étudiant $x \mapsto
\int_{-\infty}^x e^{-\frac{t^2}{2}} dt + \frac{1}{x} \cdot e^{-\frac{x^2}{2}}$.)
Ce que tu as souligné dans l'intégrale $|1_{t\le z} - P(N\le z)| \le 1$ aussi, donc même chose pour ton intégrale :
$
\displaystyle
\left|x e^\frac{x^2}{2} \cdot
\int_{-\infty}^x
(1_{t\le z} - P(N\le z)) \cdot e^{-\frac{t^2}{2}} dt
\right| \le 1
$
Multiplie cette relation par $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{\mathbb{R}}e^{-\frac{t^{2}}{2}}dt=1$ découpe et tu pourras conclure (en utilisant le théorème du transfert pour calculer l'espérance autrement).