Ouvert

Bonjour,
Non parce qu'un ouvert ne contient aucun point de sa "frontière" (on peut donner une définition rigoureuse de ce dernier mot, mais on va se contenter pour l'instant de l'intuition). Et réciproquement, un ensemble qui ne contient aucun point de sa frontière est un ouvert. Par exemple $]0,1[$ ne contient ni 0, ni 1 et est ainsi ouvert. Mais $[0,1[$, $]0,1]$ et $[0,1]$ contiennent au moins une de leurs extrémités et ne donc pas ouverts. Au début, tout cela reste intuitif et tu ne peux pas parler de frontière pour montrer qu'un ensemble est ouvert (tu dois revenir à la définition et montrer que tout point est le centre d'une boule incluse dans l'ensemble), mais ça permet de mieux comprendre la notion. :-)

Un ouvert c'est comme un écologiste convaincu : ça n'a de sens qu'au sein d'une solidarité.
Il n'existe pas vraiment de définition d'un ouvert mais une définition des ouverts.
Sur un ensemble $E$ on définit un "panel" de sous-ensembles. Ce panel doit contenir $E$ et $\emptyset$ et il doit être stable par intersection finie et union quelconque. Les objets (sous-ensembles de $E$) de ce "panel" sont appelés "ouverts" et le panel (vieux mot de l'ancien français signifiant "morceau de parchemin" et utilisé que par moi et que dans ce post...) s'appelle une topologie.
Les fermés sont par définition les complémentaires des ouverts.

On aurait pu dire pour s'amuser que les ouverts seraient les $[a,b]$ mais ce ne serait pas stable par union finie, exercice pour toi.

Après, apparaissent les propriétés caractéristiques comme le fait qu'un ouvert est voisinage de chacun de ses points.

Maintenant il y a des topologies empreintes de sorcellerie. Je t'invite à voir deux/trois exemple sur ma page mathoscope.

Dans un espace métrique $U$ est ouvert ssi pour chaque $a\in U$ il existe une boule autour de $a$ contenue dans $U$.

La boule centrée en $a$ de rayon $r> 0$ c'est $\{ x, d(a,x)<r\}$.

Sur un espace métrique les boules génèrent la topologie.

Souvent la métrique vient d'une norme sur un espace vectoriel.

Deux difficultés : souvent on considère des fonctions d'un espace métrique vers un autre, et alors une boule d'un espace n'est pas spécialement envoyée vers une boule ou un ouvert de l'autre espace.

Parfois on sort des espaces métriques et on définit des topologies plus abstraites (base d'ouverts), quand on veut faire hériter la topologie d'un espace à un sous-espace de plus petite dimension, quand on quotiente un espace par une relation d'équivalence, quand on considère la topologie faible sur un espace de fonctions.

Salut Attien,
En fait si tu as fait un peu d’algèbre tu peux te rendre compte que les applications continues jouent le rôle de « morphismes d’espaces topologiques ». C’est un peu plus subtil que ça en réalité. Pour répondre à ta question, tu n’as absolument pas besoin d’avoir la même distance sur les deux espaces. En règle générale, étant donnés deux espaces topologiques (pas forcément métriques) $(X,\mathcal{T})$ et $(Y,\mathcal{T}’)$ et une application $f:X\rightarrow Y$, on dit que $f$ est continue en $x\in X$ si pour tout voisinage $V$ de $f(x)$ dans $Y$, $f^{-1}(V)$ est un voisinage de $x$ dans $X$. Cela traduit la notion intuitive suivante : $f$ est continue en $x$ si pour tout point de $y$ assez proche de $x$, $f(y)$ est assez proche de $f(x)$.
Tu peux montrer que la définition que je t’ai proposée est équivalente à la suivante : pour tout voisinage $V$ de $f(x)$ dans $y$, il existe un voisinage $W$ de $x$ dans $X$ tel que $f(W)\subset V$.

supp

Si on veut exprimer précisément l'idée :
Pour tout voisinage $V$ de $\ell$, on peut trouver un voisinage $U$ de $x_0$ tel que pour tout $x$ dans ce voisinage $U$ et dans le domaine de définition de $f$, $f(x)$ tombe dans $V$. (Sur ton dessin : pour tout rond jaune on peut trouver un rond vert).

PS. Je pense que side voulait soulever le problème qu'il peut y avoir dans ta description. Il n'a pas vraiment tenu compte du très petit, mais justement ce "très" est ambigu. "aussi petit que l'on veut" serait plus approprié. Et quand on essaie de formaliser avec des quantificateurs, on n'échappe pas à la formulation que j'ai donnée plus haut.