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OShine
OShine
dans Analyse
Bonsoir,

Je n'arrive pas à montrer que $\sin (\arccos \frac{2}{\pi}) - \frac{2}{\pi} \arccos \frac{2}{\pi} >0$

Réponses

  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Que penses tu de $\tan(x)>x$ ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • makhlouf
    makhlouf
    Bonsoir
    Tu fais tableau de variation sur [0,pi/2] de f(x)=sin(x)-(2/pi) x
  • OShine
    OShine
    @makhlouf j'ai fait les variations justement.
    La fonction $f$ est strictement croissante sur $[0,f(\arccos(\frac{2}{\pi})]$ et strictement décroissante sur $[f(\arccos(\frac{2}{\pi}),\frac{\pi}{2}]$

    Ah je viens de comprendre merci (tu)

    Elle est strictement croissante car $f'(x)>0$ et elle s'annule qu'en 1 seul point donc $f(\arccos(\frac{2}{\pi})>0$
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonsoir,

    > Que penses tu de $\tan(x)>x$ ?

    C'était une indication :-D

    Cordialement,

    Rescassol
  • OShine
    OShine
    @Rescassol
    Est-ce utile ici ? Vu que j'avais fait le tableau de variation ?

    Soit $x \in [0,\frac{\pi}{2}[$

    Posons $f(x)=\tan x-x$
    $f'(x)=\tan^2 x \geq 0$ mais $f(0)=1$

    Du coup je ne vois pas trop où vous voulez en venir.
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    Pose $x=\arccos \frac{2}{\pi}$ dans ton inégalité initiale.
    Et $f(0)=0$, pas $1$.

    Cordialement,

    Rescassol
  • elodouwen
    elodouwen
    La fonction qui à $x$ associe $\dfrac{2}{\pi}x$ est très classique, c'est la corde reliant $(0,0)$ à $(\dfrac{\pi}{2},1)$, elle minore le sinus sur cet intervalle.
  • OShine
    OShine
    @Rescassol

    Je n'ai pas compris le rapport entre mon exercice et le $\tan x >x$

    Mais sinon en posant $x=\arccos \frac{2}{\pi}$ ça donne $ \ \sin x > \frac{2}{\pi}x$ mais je ne vois pas en quoi ça m'avance.
  • elodouwen
    elodouwen
    Relis mon post et fais un dessin..
  • OShine
    OShine
    Sur un dessin c'est évident mais je n'arrive pas à le démontrer
  • lale
    lale
    propriété des fonctions concaves
  • OShine
    OShine
    Il faut montrer que $x \mapsto \sin x$ admet une dérivée décroissante sur $[0,\dfrac{\pi}{2}]$ ?
  • lale
    lale
    Oui...Et la dérivée seconde est négative sur cet intervalle
  • elodouwen
    elodouwen
    Au pire tu étudies sin(x)-2/pi*x ..
  • biely
    biely
    Au pire du pire on a sin(arcos(2/pi))=sqrt(pi^2-4)/pi =(2/pi)sqrt((pi/2)^2-1)) et de là l'inégalité est très facile et rapide à montrer. Bon c'est très moche, j'admets:-D
  • OShine
    OShine
    Je n'ai pas réussi à étudier sin(x)-2/pi*x car cela utilise le signe de $\arccos \frac{2}{\pi}$ donc le serpent qui se mort la queue
  • Rescassol
    Rescassol
    Bonjour,

    OShine, tu ne vois pas que si $x=\arccos \frac{2}{\pi}$, alors $\frac{2}{\pi}=\cos(x)$ ? Tu veux mes lunettes ?

    Cordialement,

    Rescassol
  • elodouwen
    elodouwen
    Tu n'as pas besoin vraiment de la valeur en x du maximum, ça monte, ça descend, ça suffit.
    Boncourage!
  • OShine
    OShine
    Ok j'ai compris, en posant $f(x)=\sin x - \dfrac{2}{\pi}x$ on a $f'(x)=\cos x - \dfrac{2}{\pi}$

    $f$ est positive d'après le tableau de variation car le minimum est $0$
  • OShine
    OShine
    Après recul, la solution la plus simple : la fonction arcos est une bijection strictement décroissante de $[-1,1]$ dans $[\pi,0]$

    Or $\dfrac{2}{\pi} \in [-1,1[$ le résultat est direct.
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