Théorème de Darboux

A quelle condition pour une fonction $f$ définie et dérivable sur un intervalle $[a ; b]$ existe-t-il $c \in ]a ; b[$ tel que $f'(c)=0$?

Il y a un autre cas moins particulier qui te permet d'être sûr qu'il existe $c \in ]a ; b[$ tel que $f'(c)=0$. Tu sais ça depuis la terminale au moins (voire la 1ère).

Peu importe mais a et b peuvent ils être un extremum?

D'autre part une remarque le théorème de Rolle donne une condition suffisante et pas une condition nécessaire

$f'(a)<0$ donc $f(a)>f(x)$ pour tout $x>a$ au voisinage de $a$. Donc $a$ ne peut être un minimum.
De même pour $b$.
Par conséquent $f$ atteint son minimum en un $c$ intérieur au segment $]a;b[$

Encore une remarque : si $a>b$ on étudie un maximum...

Parce que la dérivée est définie à l’intérieur, sinon on parle de dérivée à droite ou à gauche.

@rakam, très juste. À ceci près que $(a,b)\in I^2$ plutôt...:-D
Autre chose pour OShine, dixième ligne : justifie que $]a;b[$ est dans $I$.

Pour la dernière question OShine, c’est une condition suffisante, pas nécessaire.
B&B, je ne comprends pas ta réponse.

On pouvait faire directement le 2. sans s'emm.. à sav0ir si $f$ est extrémale en $a,b$.

Soit $(a,b)\in I^2,\;u,v$ définies sur $I$ par
$$u(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)-f(a)}{x-a}\quad&\text{si $x\neq a$}\\f'(a)&\text{si $x=a$}\end{cases};
\qquad v(x)=\begin{cases}\dfrac{f(x)-f(b)}{x-b}\quad&\text{si $x\neq b$}\\f'(b)&\text{si $x=b$}\end{cases}$$
$u,v$ sont continues sur $I$ et $u(b)=v(a)$.

Soit $\lambda$ strictement entre $f'(a),\;f'(b)$.
Alors $(u(a)-\lambda)(v(b)-\lambda)<0$
donc $(u(a)-\lambda)(v(b)-\lambda)(u(b)-\lambda)^2\leq0$
donc $[(u(a)-\lambda)(u(b)-\lambda)]\,[(v(b)-\lambda)(v(a)-\lambda)]\leq0$
Un des crochets (par exemple le premier) est négatif et il existe $k$ entre $a,b$ tel que $u(k)=\lambda$.
La formule des accroissements finis permet de conclure.

@OShine : Il n'y a rien de compliqué si on est capable de suivre un raisonnement simple ligne à ligne.

Ligne 7 à ligne 8 : si $ab \leq 0$ alors $a \leq 0$ ou $b \leq 0$. Ensuite l'inégalité $(u(a)-\lambda)(u(b)-\lambda)$ veut dire que $u - \lambda$ change de signe entre $a$ et $b$, donc par le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $k \in ]a, b[$ tel que $u(k)=\lambda$. Enfin, le théorème des accroissements finis dit exactement qu'il existe $c$ entre $a$ et $k$ tel que $f'(c) = u(k) = \lambda$.

supp

Bon, exercices à savoir faire sur la dérivation parfaitement.

1) Montrer que $f$ telle que
$f(x) = \exp(-1/x^2)$ si $x$ non nul et $f(0) = 0$ est infiniment dérivable.

2) Dérivabilité à droite en 0 de $f(x) = \cos(\sqrt{x})$.

3) Soit $f$ dérivable et continue sur $[a,b]$ telle que $f(a) = f(b) = 0$. Montrer qu'il existe $c \in\, ]a,b[$ tel que $f'(c) + 2019f(c) = 0$ (On pourra penser à utiliser $e^{\lambda x}$ pour $\lambda$ bien choisi.

@Oshine : en voici une autre (mais ce n'est pas très différent fondamentalement). Quitte à traiter quatre cas similaires tu peux supposer que $f(a)>f(b)$ et $f'(a)>0$. Voici ensuite comment procéder.

(1) Faire un dessin.

(2) On observe que comme $f'(a)>0$, pour $x$ proche de $a$ on a $f(x)>f(a)$. Notons $x_0$ un tel point. Alors comme $f(x_0)>f(a)>f(b)$ et que $f$ est continue le théorème des valeurs intermédiaires te donne un point $x_1>a$ tel que $f(x_1)=f(a)$.

(3) Théorème de Rolle sur $[a,x_1]$ et c'est fini.

@Oshine, au sujet de l'idée de @rakam
Elle est très astucieuse mais on peut mener la démonstration autrement:

$u$ et $v$ étant continues, $u(I)$ et $v(I)$ sont des intervalles qui ont un point commun donc $J=u(I) \cup v(I)$ est un intervalle, et en plus $f'(a)$ et $f'(b)$ sont dedans.

Soit $d$ strictement entre $f'(a)$ et $f'(b)$, alors $d \in J$ donc par exemple il existe $\alpha \in I$ tel que $u(\alpha)=d$ donc $\dfrac {f(\alpha)-f(a)}{\alpha-a}=d$

En appliquant Rolle à la fonction $f$, on en déduit qu'il existe $c \in I$ tel que $f'(c)=\dfrac {f(\alpha)-f(a)}{\alpha-a}=d$.

$f'(I)$ est donc bien un intervalle.

Les deux seules démonstrations (dans ce fil et que je connaisse) du théorème de Darboux (Il y en a peut-être une troisième dans le Gourdon, à vérifier) sont: passer par un extremum à l'intérieur de l'intervalle et construire la fonction introduite par @rakam (vu dans le livre d'exercices du RDO, idée que je trouve très jolie...). Je trouverais dommage que @Oshine passe à côté de cette deuxième démo alors qu'il est plongé là-dedans. Elle vaut le détour.

Franchement je sympathise avec Oshine, pourquoi se passer d'une méthode claire ? Ici on comprend, c'est une solution qu'un étudiant peut trouver.

Mais la démonstration que je trouve la plus naturelle, c'est de considérer le minimum de la fonction continue $f$ sur le segment $I=[a,b]$, qui ne peut être atteint en $a$ sans quoi $f'(a)=\lim_{x \rightarrow a , x>a} \frac {f(x)-f(a)}{x-a} \ge 0$, ni en $b$ sans quoi $f'(b)=\lim_{x \rightarrow b, x<b} \frac {f(b)-f(x)}{b-x} \le 0$, ce qui n'est pas. Ce minimum est donc atteint en un point $c \in ]a,b[$, et alors on applique la démonstration du théorème de Rolle.
Bonne soirée.
Fr. Ch.

Soit $a\in \mathbb{R}$, $a\neq 0$. Soit $f_{a}\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ et $g_{a}\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ les fonctions définies par
\begin{equation*}
f_{a}(x)=
\begin{cases}
x\sin\frac{a}{x}& \text{si $x\neq0$,} \\
0 & \text{si $x=0$}
\end{cases}
\qquad\text{et}\qquad
g_{a}(x)=
\begin{cases}
x^{2}\sin\frac{a}{x}& \text{si $x\neq0$,} \\
0 & \text{si $x=0$.}
\end{cases}
\end{equation*}
La fonction $f_{a}$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc elle est la dérivée d'une certaine fonction. La fonction $g_{a}$ est continue et dérivable sur $\mathbb{R}$ et
\begin{equation*}
g'_{a}(x)=
\begin{cases}
2x\sin\frac{a}{x}-a\cos\frac{a}{x}& \text{si $x\neq0$,} \\
0 & \text{si $x=0$.}
\end{cases}
\end{equation*}
La fonction $u_{a}\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ définie par
\begin{equation*}
u_{a}(x)=
\begin{cases}
\cos\frac{a}{x}& \text{si $x\neq0$,} \\
0 & \text{si $x=0$}
\end{cases}
\end{equation*}
est donc une dérivée, puisque $u_{a}=\tfrac{1}{a}(2f_{a}-g'_{a})$. De même, la fonction $v_{a}\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ définie par
\begin{equation*}
v_{a}(x)=
\begin{cases}
\sin\frac{a}{x}& \text{si $x\neq0$,} \\
0 & \text{si $x=0$}
\end{cases}
\end{equation*}
est une dérivée. On considère maintenant la fonction $w_{a}\colon\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$ définie par $w_{a}=u_{a}^{2}+v_{a}^{2}$. On a
\begin{equation*}
w_{a}(x)=
\begin{cases}
1& \text{si $x\neq0$,} \\
0 & \text{si $x=0$.}
\end{cases}
\end{equation*}
La fonction $w_{a}$ ne vérifie pas la propriété des valeurs intermédiaires donc, d'après le théorème de Darboux, ce n'est pas une dérivée. Il s'ensuit qu'au moins une des fonctions $u_{a}^{2}$ et $v_{a}^{2}$ n'est pas une dérivée. On remarque que $u_{a}^{2}=\tfrac{w_{a}}{2}+\tfrac{u_{2a}}{2}$. Puisque $u_{2a}$ est une dérivée et $w_{a}$ n'en est pas une, on conclut que la fonction $u_{a}^{2}$ n'est pas une dérivée. De même, la fonction $v_{a}^{2}$ n'est pas une dérivée. On a ainsi obtenu deux exemples de fonctions dérivées (les fonctions $u_{a}$ et $v_{a}$) dont le carré n'est pas une dérivée. On note aussi que les fonctions $u_{a}^{2}$ et $v_{a}^{2}$ vérifient la propriété des valeurs intermédiaires, mais que leur somme ne vérifie pas cette propriété.

Le pdf joint (bonne source d'exercices) donne une possibilité de construire à volonté des fonctions dérivées dont le produit n'est pas une fonction dérivée.

@OShine
je vois que tu comprends mieux l'anglais que le chinois : j'y veillerai pour l'avenir !

Quant à ton étonnement sur $x\in[a,s]$ il est dû à ton refus de voir (et ce n'est pas la première fois) que l'intervalle ouvert est inclus dans le segment.

@celine: avec ton exemple, a-t-on le droit d'écrire $f'(0)=0$ ? Je suppose que non...?

Oui et c'est ce qui fait que $f'$ n'est pas continue car $f'$ définie sur $\mathbb{R}^*$ n'a pas de limite en $0$.

Si f est dérivable, elle est continue. Mais la dérivée, elle, n'est pas nécessairement continue.