Limite de fonction monotone
Bonsoir, voilà, je veux montrer que toute fonction
$\begin{array}{ccccc}
f & : & I & \to & \mathbb{R} \\
\end{array}$ monotone admet des limites à gauche et à droite en tout point $ x_{0} \in ]a,b[$ où $I=[a,b] ,a<b$
Je suppose que la fonction $f$ n'est pas continue,car si f est continue sur $I=[a,b]$, elle admet des limites à gauche et à droite.
Ainsi, quitte à échanger $f$ en $-f$ , supposons que $f$ est croissante sur $I$.
Posons $B=f(]x_{0},b]) \subseteq \mathbb{R}$.
B est non vide car contient $f(b)$.
De plus, B est minorée par $f(x_{0})$.
on en déduit d'après l'axiome de la borne inférieure que $B$ admet une borne inférieure, qu'on note $l$ , où $l=infB$.
Montrons que $l$ est la limite de $x_{0}^{+}$.
Soit $ \epsilon >0$.
D'après la caractérisation de la borne inférieure:
$ \exists y \in B , l \leq y <l+\epsilon$.
Comme $y \in B $ , il existe $x_{1} \in ]x_{0},b] $ , tel que $y=f(x_{1})$.
Posons $ \eta = x_{1}-x{0} >0$.
Soit $x \in ]x_{0},b]$ tel que $x-x_{0}< \eta$.
on a $f(x) \in B$, et comme $x<x_{1}$ par croissance de la fonction $f$, on a $f(x) \leq f(x_{1})$
comme $f(x_{1})<l+\epsilon$, on en déduit que $f(x) \leq f(x_{1})<l+\epsilon$, d'où $f(x)<l+\epsilon$.
$l$ étant le plus grand des minorants, on a $l \leq f(x)<l+\epsilon$.
en soustrayant de part et d'autre de l'inégalité par $l$, on a $0 \leq f(x) -l<\epsilon$.
Ainsi on a montré que : $ \epsilon >0 , \exists \eta>0,\forall x\in I,(0<x-x_{0}< \eta \Rightarrow |f(x)-l| \leq \epsilon$).
$f$ admet une limite à droite de $x_{0}$ qui est égale à $l$.
par un même raisonnement on fait le cas $x_{0}^{-}$.
Mon raisonnement est-il correct?
Merci d'avance pour votre aide.
$\begin{array}{ccccc}
f & : & I & \to & \mathbb{R} \\
\end{array}$ monotone admet des limites à gauche et à droite en tout point $ x_{0} \in ]a,b[$ où $I=[a,b] ,a<b$
Je suppose que la fonction $f$ n'est pas continue,car si f est continue sur $I=[a,b]$, elle admet des limites à gauche et à droite.
Ainsi, quitte à échanger $f$ en $-f$ , supposons que $f$ est croissante sur $I$.
Posons $B=f(]x_{0},b]) \subseteq \mathbb{R}$.
B est non vide car contient $f(b)$.
De plus, B est minorée par $f(x_{0})$.
on en déduit d'après l'axiome de la borne inférieure que $B$ admet une borne inférieure, qu'on note $l$ , où $l=infB$.
Montrons que $l$ est la limite de $x_{0}^{+}$.
Soit $ \epsilon >0$.
D'après la caractérisation de la borne inférieure:
$ \exists y \in B , l \leq y <l+\epsilon$.
Comme $y \in B $ , il existe $x_{1} \in ]x_{0},b] $ , tel que $y=f(x_{1})$.
Posons $ \eta = x_{1}-x{0} >0$.
Soit $x \in ]x_{0},b]$ tel que $x-x_{0}< \eta$.
on a $f(x) \in B$, et comme $x<x_{1}$ par croissance de la fonction $f$, on a $f(x) \leq f(x_{1})$
comme $f(x_{1})<l+\epsilon$, on en déduit que $f(x) \leq f(x_{1})<l+\epsilon$, d'où $f(x)<l+\epsilon$.
$l$ étant le plus grand des minorants, on a $l \leq f(x)<l+\epsilon$.
en soustrayant de part et d'autre de l'inégalité par $l$, on a $0 \leq f(x) -l<\epsilon$.
Ainsi on a montré que : $ \epsilon >0 , \exists \eta>0,\forall x\in I,(0<x-x_{0}< \eta \Rightarrow |f(x)-l| \leq \epsilon$).
$f$ admet une limite à droite de $x_{0}$ qui est égale à $l$.
par un même raisonnement on fait le cas $x_{0}^{-}$.
Mon raisonnement est-il correct?
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