Une intégrale un peu spéciale

Tyoussef · October 2019

Bonjour ou bonsoir (voir l'heure).

L'intégrale 1 : Si $\quad x \in [a;b] ,\ f(a+b-x) = f(x) $ alors $$

\int_a^b tf(t) dt = \frac{a+b}{2}\int_a^b f(t) dt .

$$ L'intégrale 2 : $$\int_a^b \frac{ f(x) }{f(a+b-x) + f(x) } dx = \frac{b-a}{2}.

$$ (Pour la preuve, un changement de variable $u = a+b-x$).
Cette intégrale a été posée en Inde lors d'un examen.

Question : y a-t-il d'autres exemples de ce type ?
Merci.

Said Fubini · October 2019

Bonjour,
une généralisation de 1 qui généralise aussi le théorème de Riemann-Lebesgue.
Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$ et $g$ continue est périodique alors
$\int _a ^b f(t)g(tx) dt$ tend vers $M_g \int _a^bf(t)dt$ quand $x$ tend vers l'infini, où $M_g$ est la moyenne de $g$

Tyoussef · October 2019

$@Said \;Fubini$

OK : $M_g$ est la moyenne de $g$ , alors le $\frac{a+b}{2} $, c'est la moyenne de la fonction constante.

Une intégrale un peu spéciale

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Bonjour!

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