Dérivée n-ième
Bonjour,
Soit $f$ l'application définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-1$. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P_n$ la suite de fonctions polynomiales définie sur $\R$ par : $P_n(x)=\dfrac{1}{2^n n!} D^n (f^n)$
1/ Démontrer que $P_n$ a la parité de $n$.
2/ Calculer $P_n(1)$. En déduire $P_n(-1)$.
3/ Démontrer que $P_n$ s'annule $n$ fois sur $]-1,1[$.
On trouve $P_n(1)=1$ et $P_n(-1)=(-1)^n$.
Je bloque sur la dernière question de cet exercice et l'indication de mon livre me désarçonne : "en appliquant la formule de Leibniz à l'ordre $k<n$, il vient que $-1$ et $1$ sont des zéros de $D^k (f^n)$. Comment peuvent-ils être des zéros alors qu'on cherche les racines de $P_n$ sur $]-1,1[$ ouvert ? Je n'ai rien compris.
Je ne comprends pas non plus le rapport entre la question 2 et la question 3.
Soit $f$ l'application définie sur $\R$ par $f(x)=x^2-1$. Pour tout entier naturel $n$ on pose $P_n$ la suite de fonctions polynomiales définie sur $\R$ par : $P_n(x)=\dfrac{1}{2^n n!} D^n (f^n)$
1/ Démontrer que $P_n$ a la parité de $n$.
2/ Calculer $P_n(1)$. En déduire $P_n(-1)$.
3/ Démontrer que $P_n$ s'annule $n$ fois sur $]-1,1[$.
On trouve $P_n(1)=1$ et $P_n(-1)=(-1)^n$.
Je bloque sur la dernière question de cet exercice et l'indication de mon livre me désarçonne : "en appliquant la formule de Leibniz à l'ordre $k<n$, il vient que $-1$ et $1$ sont des zéros de $D^k (f^n)$. Comment peuvent-ils être des zéros alors qu'on cherche les racines de $P_n$ sur $]-1,1[$ ouvert ? Je n'ai rien compris.
Je ne comprends pas non plus le rapport entre la question 2 et la question 3.
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Réponses
$p(x)=x(x-1/2)$
Trouver les racines de $p$ sur $]0,1[.$
Si je te dis que $p(0)=0$ et que donc $0$ est racine, me réponds-tu : comment se fait-il que $0$ soit une racine puisqu’on cherche les racines dans $]0,1[$ ?
Hein ?
Je n'ai pas vu les développements limités ni la formule de Tayler. Cet exercice est à traiter uniquement avec les connaissances de MPSI sur le chapitre dérivation.
J'essaie de montrer que $1$ et $-1$ sont racines de $D^k (f^n)$ avec $k<n$.
On a : $f^n(x)=(x-1)^n (x+1)^n$. D'après la formule de Leibniz en posant $u(x)=(x-1)^n$ et $v(x)=(x+1)^n$
$D^k(f^n)(x)=\sum_{i=0}^{k} \binom{k}{i} u^{(i)}(x) v^{(k-i)} (x)$
Or $u^{(k)}(x)=k(k-1) \cdots (n-i+1) (x-1)^{n-i}$
$\forall i \in [|0,k|] \ u^{(k)}(1)=0$ car $i <n$ donc $D^k(f^n)(1)=0$.
Montrons que $D^k(f^n)(-1)=0$. On a : $v^{(k-i)} (x) = k(k-1) \cdots (n-k+i+1) (x+1)^{n-(k-i)} $
De même comme $k-i \leq k <n$ on obtient : $D^k(f^n)(-1)=0$.
Ce raisonnement est-il correct ?
$D^0(f^n)$ n'admet aucun zéro dans $]-1,1[$.
Si on suppose que $D^{k}(f^n)$ admet $k$ zéros dans $]-1,1[$ avec $k \in [|0,n-1|]$ (récurrence finie)
Notons $x_1 , \cdots x_k$ ces zéros ordonnés de sorte que $x_1 < x_2 \cdots <x_k$.
On sait que $D^{k}(f^n)(x_1)=D^{k}(f^n)(x_2) = \cdots D^{k}(f^n)(x_k)=0$ mais on a aussi $D^{k}(f^n)(1)=D^{k}(f^n)(-1)=0$
En écrivant $-1 < x_1 < \cdots x_k < 1$ et en appliquant le théorème de Rolle car $f$ est de classe $C^{\infty}$ on obtient que $D^{k+1}(f^n)$ s'annule dans $[-1,x_1]$ , $[x_1,x_2]$ ... $[x_k,1]$.
On dénombre $k+1$ intervalles d'où les $k+1$ zéros.
Je ne suis pas encore arrivé au chapitre de l'Analyse asymptotique.
Après le chapitre dérivation, je vais étudier d'abord le chapitre sur l'intégration, le calcul intégral puis juste après l'analyse asymptotique.
Ok merci.
Je n'ai pas encore vu l'algèbre et le chapitre sur les polynôme. J'ai vu les nombres complexes, les fonctions usuelles, les équations différentielles, les ensembles et applications, une bonne partie d'analyse mais je n'ai pas encore touché l'algèbre et les probabilités.