Continuité par morceaux sur un segment.
Bonsoir.
Il y a un trou noir dans mon cerveau concernant cette notion.
Dans mon livre, il est dit :
$\begin{array}{ccccc}
f: & [a,b] & \to & \mathbb{R} \\
\end{array}$ est continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ lorsqu'il existe un entier $n \in \mathbb{N^{*}}$ et une subdivision $(a_{i})_{i \in \{0,\ldots,n\}}$ telle que pour tout $i \in [\![0;n]\!]$, la restriction de $f$ aux intervalles ouverts $]a_{i-1},a_{i}[$ est :
1- continue sur $]a_{i-1},a_{i}[$,
2- admet une limite finie à droite en $a_{i-1}$ et une limite finie à gauche de $a_{i}$.
Et en remarque c'est dit : la formulation équivalente de la définition consiste à dire que la restriction de $f$ sur les intervalles ouverts $]a_{i-1},a_{i}[$ est continue et prolongeable par continuité sur ces derniers.
La définition est-elle conforme à la remarque, car si on dit que la fonction admet des limites à droite et à gauche en $a_{i}$, rien ne dit qu'elles sont égales, si elles sont égales bien sûr la remarque est juste ? Ou bien je ne comprends pas la définition.
Merci pour votre aide.
Il y a un trou noir dans mon cerveau concernant cette notion.
Dans mon livre, il est dit :
$\begin{array}{ccccc}
f: & [a,b] & \to & \mathbb{R} \\
\end{array}$ est continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ lorsqu'il existe un entier $n \in \mathbb{N^{*}}$ et une subdivision $(a_{i})_{i \in \{0,\ldots,n\}}$ telle que pour tout $i \in [\![0;n]\!]$, la restriction de $f$ aux intervalles ouverts $]a_{i-1},a_{i}[$ est :
1- continue sur $]a_{i-1},a_{i}[$,
2- admet une limite finie à droite en $a_{i-1}$ et une limite finie à gauche de $a_{i}$.
Et en remarque c'est dit : la formulation équivalente de la définition consiste à dire que la restriction de $f$ sur les intervalles ouverts $]a_{i-1},a_{i}[$ est continue et prolongeable par continuité sur ces derniers.
La définition est-elle conforme à la remarque, car si on dit que la fonction admet des limites à droite et à gauche en $a_{i}$, rien ne dit qu'elles sont égales, si elles sont égales bien sûr la remarque est juste ? Ou bien je ne comprends pas la définition.
Merci pour votre aide.
Réponses
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Ah je crois que j'avais mal compris la définition, en effet les restrictions étant différentes sur chaque intervalle, il est vrai que la remarque et la définition sont correctes car la définition d'une fonction prolongeable par continuité est respectée, c'est bien ça non? ou bien je me trompe encore :-S
-
La limite à gauche en $a_i$ sert à prolonger la restriction continue à $]a_{i-1},a_i[$ en $a_i$, et la limite à droite en $a_i$ sert à prolonger la restriction continue à $]a_i,a_{i+1}[$ en $a_i$. Mais bien sûr, ces deux prolongements n'ont pas à coïncider en $a_i$. Fais un dessin.
-
Excusez, mais je ne comprends pas ce résultat :
soit $f$ définie sur $[0,1]$ par : $$
f(x) = \left\{
\begin{array}{ll}
E(\tfrac{1}{x}) & \mbox{si } x>0 \\
0 & \mbox{si }x=0.
\end{array}
\right.
$$ Pour tout $n \in \mathbb{N^{*}}$, on a $f(\frac{1^{+}}{n})=E(n^{-})=n-1$ et $f(\frac{1^{-}}{n})=E(n^{+})=n$.
Graphiquement, voici le graphe de la fonction. -
Qu'est-ce que tu ne comprends pas ? Ramène-toi à la définition de partie entière pour déterminer la valeur de $f(x)$ quand $x \in [\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}]$.
-
ok, merci
-
Soit $x \in ]\frac{1}{n+1};\frac{1}{n}]$.
j'arrive à $n \leq E(\frac{1}{x}) <n+1$.
de plus , si $x<n$ , on a $\frac{1}{x} >\frac{1}{n}$, donc $E(\frac{1^{+}}{n})=E(n^{-})=n-1$.
et si $x>n$ , on a $\frac{1}{x} <\frac{1}{n}$, donc $E(\frac{1^{-}}{n})=E(n^{+})=n$.
c'est exacte? -
Je ne vois rien de faux dans ce que tu écris, mais, si tu veux montrer que $f$ est continue par morceaux sur $]0;+\infty[$, il suffit d'écrire : $f(x) = n-1$ pour $x\in\big]\frac{1}{n},\frac{1}{n-1}\big[$.
En effet, tu as ta subdivision (les $\frac{1}{k}$) qui est finie sur tout segment, et puis ta fonction est constante sur chaque intervalle ouvert de celle-ci, donc elle est bien prolongeable par continuité à chaque bord. -
supp
-
ok merci pour vos différentes réponses, c'était un exemple portant sur la définition d'une fonction continue par morceaux sur un segment.
il a montré que la fonction est discontinue en tous les réels $\frac{1}{n}$ où $n \in \mathbb{N^{*}}$ -
supp
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