Convexité de f

Bonjour, afin de résoudre correctement un exercice où je dois calculer le conjugué de la fonction $f$ suivante je dois pouvoir montrer qu'il s'agit d'une fonction convexe.
$f : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$, $~(x,t) \mapsto-\log(t^2 - x'x)$ définie sur $\{(x,t),~ \| x \| < t\}$

J'ai essayé de montrer que la hessienne est positive au sens des matrices symétriques (sans succès). J'ai aussi essayé la décomposition suivante:
$f(x,t) = -\log(| t | - \| x \|) - \log(| t | + \Vert x \Vert))$

Mais je ne vois pas comment conclure áà partir de cette décomposition. Je n'arrive pas à appliquer une règle de composition qui préserverait la convexité, ni à faire apparaître la fonction perspective d'une fonction convexe.
Merci d'avance.