Exercice de rédaction

Bonjour,

Pourquoi le TAF ???
Pourquoi ne pas tout simplement écrire les choses...comme elles viennent, proprement.

Pour la 1), la fonction $\phi$ est décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}.$
Ainsi, pour tout couple $(x,y)\in\left(\mathbb{R}^{+*}\right)^{2}$ tel que $x<y,$ on a : $\displaystyle \phi(x)\geq \phi(y).$
En particulier, en faisant tendre $y$ vers $+\infty,$ il vient pour tout $x>0,$ $\displaystyle \phi(x)\geq 0.$

Pour la 2), la fonction $\phi$ est strictement décroissante sur $\mathbb{R}^{+*}.$
Soit $a>0.$ Ainsi, pour tout $(x,y)\in\left(\mathbb{R}^{+*}\right)^{2}$ tel que $x<a<y,$ on a : $\displaystyle \phi(x)>\phi(a)> \phi(y).$
En particulier, en faisant tendre $y$ vers $+\infty,$ il vient $\displaystyle \phi(a)\geq 0$ et alors pour tout $x\in]0,a[,$ $\displaystyle \phi(x)> 0.$
Comme $a$ est arbitraire, $\phi$ est strictement positive sur $\mathbb{R}^{+*}.$

Remarque : j'ai refait la preuve complète, mais la 2) découle de la 1) en ajoutant que $\phi$ est strictement décroissante.

Pour résumer, pour la 1), il suffit de passer à la limite.
Pour la 2), il faut tout d'abord bien "séparer" les inégalités.