Adhérence de $\ell^1$ dans $\ell^\infty$

viko
viko
dans Analyse
Bonjour,

On a l'inclusion $\ell^1 \subset \ell^\infty$, je cherche à calculer l'adhérence de $\ell^1$ dans $\ell^\infty$ ce dernier étant muni de la norme de la convergence uniforme, le théorème de la double limite assure que $\overline{\ell^1} \subset c_0$ (l'espace des suites de limite nulle).

Après plusieurs tentatives infructueuses de démonstration de l’inclusion réciproque j'en viens à me demander si on a bien $\overline{\ell^1}= c_0$, est-ce le cas ?

Réponses

  • marsup
    marsup
    Oui je pense.

    Il me semble que l'espace des suites presque nulles (qui finissent par stationner à 0) est déjà dense $l^\infty$ dans $c_0$.
  • Calli
    Calli
    Bonjour,
    Soit $(u_n) \in c_0$. Alors $(u_n \cdot \mathbf{1}_{n\leqslant m})_n \in l^1$ pour tout $m$ et $(u_n \cdot \mathbf{1}_{n\leqslant m})_n \xrightarrow[m \to \infty]{\text{cvu}} (u_n)$ car $\|(u_n \cdot \mathbf{1}_{n\leqslant m}) - (u_n)\|_\infty = \sup_{n>m} |u_n| \xrightarrow[m \to \infty]{} 0$.
  • elodouwen
    elodouwen
    Mais alors peut on dire que $\ell_p$ a aussi pour adhérence $c_0$ avec la norme infinie ?
  • Poirot
    Poirot
    Oui, puisqu'ils contiennent l'espace des suites presque nulles, et sont inclus dans $c_0$.
  • elodouwen
    elodouwen
    Mais c'est quoi une suite "presque" nulle ?
    On est d'accord que $\ell_p$ est le pendant de $L^p$ pour la mesure de comptage ? Avec cette mesure, dites-moi si je me trompe, les sous-ensembles de $\mathbb{N}$ de mesure nulle n'existent pas, il n'y a que $\emptyset$ non ? Puisque tout ensemble non vide est de mesure au moins 1.
    Ou alors tu appelles "presque nulles" les suites nulles à partir d'un certain rang ?

    Question : est-ce que $c_0$ est complet ? Je dirais que oui.
  • reuns
    reuns
    Si $E$ est inclus dans $c_0$ et contient les suites finies alors $E$ est dense dans $c_0$ pour la norme $\ell^\infty$.

    Oui $c_0$ est complet, c'est le point important de la question de départ, s'il n'était pas complet la réponse serait toute autre.

    L'exercice d'après c'est de montrer que $\ell^1$ est le dual de $c_0$, que $\ell^\infty$ est le dual de $\ell^1$, et que le dual de $\ell^\infty$ contient plein d'autres trucs bizarres.
  • Poirot
    Poirot
    @elodouwen : presque nulle = nulle à partir d'un certain rang. Oui $l^p(\mathbb N) = L^p(\mathbb N, \mu)$ où $\mu$ est la mesure de comptage usuelle. Le seul ensemble de mesure nulle est le vide. $c_0$, muni de la norme infinie, est complet puisqu'il est fermé dans $l^{\infty}$, qui est complet.
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