Équation différentielle
Bonjour
Soit $q$ une fonction de classe $C^1$ telle que $\exists A \in \R^+, \ \forall x \geq A, \ (q(x)>0 \ \text{ET} \ q'(x)>0).$
Montrer que toute fonction $y$ vérifiant $\forall x \in \R, \ y''(x)+q(x)y(x)=0$ est bornée au voisinage de $+\infty.$
On pourra poser la fonction $\begin{array}[t]{cccl}
z :& [A,+\infty[& \longrightarrow &\R \\
& x& \longmapsto &y^2(x)+\dfrac{y'^2(x)}{q(x)}
\end{array}$
On a $\forall x \geq A ,\ z'(x)=-y'^2(x) \dfrac{q'(x)}{q^2(x)} \leq 0.$
$z$ est une fonction positive décroissante sur $[A,+\infty[$ donc $\forall x \geq A ,\ 0 \leq z(x) \leq z(A)$
Je bloque à ce stade.
Soit $q$ une fonction de classe $C^1$ telle que $\exists A \in \R^+, \ \forall x \geq A, \ (q(x)>0 \ \text{ET} \ q'(x)>0).$
Montrer que toute fonction $y$ vérifiant $\forall x \in \R, \ y''(x)+q(x)y(x)=0$ est bornée au voisinage de $+\infty.$
On pourra poser la fonction $\begin{array}[t]{cccl}
z :& [A,+\infty[& \longrightarrow &\R \\
& x& \longmapsto &y^2(x)+\dfrac{y'^2(x)}{q(x)}
\end{array}$
On a $\forall x \geq A ,\ z'(x)=-y'^2(x) \dfrac{q'(x)}{q^2(x)} \leq 0.$
$z$ est une fonction positive décroissante sur $[A,+\infty[$ donc $\forall x \geq A ,\ 0 \leq z(x) \leq z(A)$
Je bloque à ce stade.
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Réponses
Pour $x \geq A$ on a $0 \leq y^2(x) \leq z(x)$ donc $|y(x)| \leq \sqrt{z(x)} \leq \sqrt{z(A)}$ d'où le résultat :-)
Je n'ai pas réussi la suite car je n'ai pas pensé à l'inégalité $y^2(x) \leq z(x)$
@Noobey
Je n'ai pas oublié vos exercices, je les traiterai quand j'aurai terminé les exercices du livre.