Triangle d'aire maximale
Bonsoir,
On cherche les triangles $ABC$ d'aire maximale inscrits dans le cercle centré à l'origine et de rayon $1$.On peut toujours supposer que $A$ et $B$ sont sur une droite parallèle à l'axe $(O,\vec{i})$
1/ Déterminer les triangles d'aire maximale pour lesquels $A$ et $B$ sont sur une droite d'équation $Y=y$ où $y \in [-1,1]$. On notera $f(y)$ cette aire.
2/ Conclure.
J'ai écris $A(x_A,y)$ $B(x_B,y)$ et $C(x_C,z)$.
L'aire du triangle $ABC$ vaut $\mathcal A=\dfrac{AB \times CH}{2}$ avec $H$ projeté orthogonale de $C$ sur $(AB)$.
Je trouve $AB=|x_B-x_A|$ et $AC=|x_C-x_A|$
On sait que $A,B \in \mathcal C(0,1)$ donc $x_A ^2+y^2=1$ et $x_B ^2+y^2=1$
On en déduit : $x_A= \pm \sqrt{1-y^2}$ et $x_B= \pm \sqrt{1-y^2}$
Or $x_A \ne x_B$ donc $AB=2 \sqrt{1-y^2}$
Mais je bloque pour exprimer $CH$ en fonction de y :-S
On cherche les triangles $ABC$ d'aire maximale inscrits dans le cercle centré à l'origine et de rayon $1$.On peut toujours supposer que $A$ et $B$ sont sur une droite parallèle à l'axe $(O,\vec{i})$
1/ Déterminer les triangles d'aire maximale pour lesquels $A$ et $B$ sont sur une droite d'équation $Y=y$ où $y \in [-1,1]$. On notera $f(y)$ cette aire.
2/ Conclure.
J'ai écris $A(x_A,y)$ $B(x_B,y)$ et $C(x_C,z)$.
L'aire du triangle $ABC$ vaut $\mathcal A=\dfrac{AB \times CH}{2}$ avec $H$ projeté orthogonale de $C$ sur $(AB)$.
Je trouve $AB=|x_B-x_A|$ et $AC=|x_C-x_A|$
On sait que $A,B \in \mathcal C(0,1)$ donc $x_A ^2+y^2=1$ et $x_B ^2+y^2=1$
On en déduit : $x_A= \pm \sqrt{1-y^2}$ et $x_B= \pm \sqrt{1-y^2}$
Or $x_A \ne x_B$ donc $AB=2 \sqrt{1-y^2}$
Mais je bloque pour exprimer $CH$ en fonction de y :-S
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Donc essaie de chercher un peu. Ce que tu écris pour $AC$ ne te gêne pas?
C'est la hauteur $CH$ qu'il me faut mais je ne vois pas comment la trouver.
En effet, comme $C(x_C,z)$ et $H(x_C,y)$ j'obtiens $CH=\sqrt{(z-y)^2}=|z-y|$
Donc $\mathcal A = \sqrt{1-y^2} |z-y|$
Et c'est là le point qui me pose des difficultés. Comment rendre l'air maximale alors qu'elle dépend de 2 variables $y$ et $z$ :-S
$\forall z \in [-1,1] \ |z-y| \leq |z|+|y| \leq 1+ |y|$ car $z$ est à une distance inférieure à 1 de l'origine.
Mais je n'arrive pas à montrer que l'inégalité est atteinte.
Je veux résoudre $|z-y|=1+|y|$ avec $y$ fixé et $z \in [-1,1]$
Je ne vois pas comment faire...
Fais un dessin...
Comme @noobey te l’a suggéré, peux-tu faire un dessin? Place $AB$ à une hauteur $y\geq 0$. Où placer $C$ pour obtenir que la distance $CH$ soit maximale?(puisque c’est d’abord cela qu’on veut maximiser n’est-ce pas? Autrement dit, savoir si tes « inégalités sont atteintes » comme tu dis).
Ensuite, tes souvenirs de 1S(non?)
Pourquoi vous dites que c'est faux alors que c'est ce qui est écrit dans le corrigé ?
J'ai fait un dessin depuis le départ, je ne vois pas comment rendre $CH$ maximale il y a une infinité de positions possibles. Pourquoi ne pas le faire par le calcul ?
::o::o
Mais j'obtiens alors $f(y)=\sqrt{1-y^2} |y-1|$
Alors que le corrigé donne un un résultat différent et en plus je comprends rien au raisonnement du livre :-(
Puisque $z \in [-1,1] \ |z-y|\leq 1+|y|$ inégalité atteinte en $1$ ou $-1$ selon de le signe de $y$. Il s'en suit que : $f(y)=(1+|y|) \sqrt{1-y^2}$
D'ailleurs encore une faute de calcul bidon de ta part mais bon tu disais sur l'autre topic que tu te trouvais fort en calcul...
$z \in [-1,1] \ |z-y|\leq 1+|y|$ inégalité atteinte en $1$ ou $-1$ selon de le signe de $y$. Il s'en suit que : $f(y)=(1+|y|) \sqrt{1-y^2}$
Car je n'ai toujours pas compris comment montrer que l'inégalité est atteinte en $1$ et $-1$
Quand la longueur de la base est fixée, cette aire est donc maximale quand la hauteur est maximale. Donc quand H est tout en haut (ou tout en bas si le triangle a la pointe en bas).
Mais encore une fois, le dessin permet (très) facilement de le voir...
Mais je préfère la méthode graphique.
L'étude de la fonction ne pose pas de difficulté pour la suite, on trouve que le maximum est atteint en $y=\dfrac{-1}{2}$ et $y=\dfrac{1}{2}$.